Question

【題目】已知函數(shù)的圖象在處的切線與函數(shù)的圖象在處的切線互相平行.

（1）求的值；

（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見詳解

【解析】

（1）根據(jù)曲線在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得與函數(shù)的圖象在處的導(dǎo)數(shù)，由于切線平行，可得結(jié)果

（2）利用分離參數(shù)的方法，得到，然后構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)的值域與的大小關(guān)系，可得結(jié)果.

（3）根據(jù)（2），得到，然后令代入，兩邊取對(duì)數(shù)，進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合不等式可得，最后求和可得結(jié)果.

（1）由，所以，

則，又

所以，據(jù)題意可知：

（2）由（1）可知

又對(duì)恒成立，

即在恒成立，

令，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

所以在單調(diào)遞減，

在單調(diào)遞增，

所以

所以

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為

（3）由（2）可知：

當(dāng)時(shí)，，即

令，所以，兩邊取對(duì)數(shù)，

可得，

所以

即

所以

即