【題目】如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,側(cè)棱底面垂直于和,是棱的中點.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)在線段上是否存在一點使得與平面所成角的正弦值為若存在,請求出的值,若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)(Ⅲ)答案見解析.
【解析】
(Ⅰ)建立空間直角坐標(biāo)系,由直線的方向向量和平面的法向量的關(guān)系即可證得線面平行;
(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論進(jìn)一步求得兩個半平面的法向量,首先確定二面角的余弦值,然后求解二面角的正弦值即可;
(Ⅲ)設(shè)出點的坐標(biāo),由線面角夾角的正弦值公式計算可確定滿足題意的點N是否存在.
(Ⅰ)以A點為坐標(biāo)原點,方向分別為軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則:,,
故,設(shè)平面SCD的法向量為,則:
,
據(jù)此可得平面SCD的一個法向量為,
且,據(jù)此可得,平面,則平面.
(Ⅱ)設(shè)平面的法向量為,則:
,
據(jù)此可得平面的一個法向量,
二面角的平面角大小為,易知:
.
(Ⅲ)假設(shè)存在滿足題意的點N,且:,
設(shè)點N的坐標(biāo)為,據(jù)此可得:,
由對應(yīng)坐標(biāo)相等可得,
故,由于平面SAB的一個法向量,
由題意可得:,
解得:,
據(jù)此可得存在滿足題意的點N,且的值為.
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【題目】已知,點滿足,記點的軌跡為.斜率為的直線過點,且與軌跡相交于兩點.
(1)求軌跡的方程;
(2)求斜率的取值范圍;
(3)在軸上是否存在定點,使得無論直線繞點怎樣轉(zhuǎn)動,總有成立?如果存在,求出定點;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為,直線與軸的交點為,與的交點為,且.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)設(shè)過定點的直線與拋物線交于,兩點,連接并延長交拋物線的準(zhǔn)線于點,當(dāng)直線恰與拋物線相切時,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,設(shè),且,記;
(1)設(shè),其中,試求的單調(diào)區(qū)間;
(2)試判斷弦的斜率與的大小關(guān)系,并證明;
(3)證明:當(dāng)時,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在邊長為2的菱形中,,于點,將沿折起到的位置,使,如圖2.
(1)求證:平面;
(2)在線段上是否存在點,使平面平面?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=4cos ωx·sin+a(ω>0)圖象上最高點的縱坐標(biāo)為2,且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π.
(1)求a和ω的值;
(2)求函數(shù)f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間.
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【題目】已知a∈R,命題p:“x∈[1,2],x2﹣a≥0”,命題q:“x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”.
(1)若命題p為真命題,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若命題“p∨q”為真命題,命題“p∧q”為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左、右頂點分別為,,且左、右焦點與短軸的一個端點是等邊三角形的三個頂點,點在橢圓上,過點的直線交橢圓于軸上方的點,交直線于點.直線與橢圓的另一交點為,直線與直線交于點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若,試求直線的方程;
(3)如果,試求的取值范圍.
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