有冪函數(shù)y＝(α≠0)若干個(gè)，每個(gè)函數(shù)至少具有下面三條性質(zhì)之一：

(1)是奇函數(shù)；

(2)是(－∞，＋∞)內(nèi)的增函數(shù)；

(3)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．

又已知同時(shí)具有性質(zhì)(1)的共有15個(gè)，具有性質(zhì)(2)的共有12個(gè)，具有性質(zhì)(3)的共有18個(gè)，試問(wèn)，這些冪函數(shù)共有幾個(gè)？其中冪指數(shù)小于零的有幾個(gè)？

答案：
解析：

　　解：由冪函數(shù)的性質(zhì)知，在(－∞，＋∞)內(nèi)的增函數(shù)一定是奇函數(shù)，且圖象一定過(guò)原點(diǎn)．

　　又若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象又經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則這個(gè)函數(shù)一定是在(－∞，＋∞)上的增函數(shù)．

　　設(shè)這些冪函數(shù)中分別具備性質(zhì)(1)(2)(3)的函數(shù)分別構(gòu)成集合A、B、C，而冪指數(shù)小于零的構(gòu)成集合D，依題意得

　　

　　即共有冪函數(shù)21個(gè)．

　　又冪指數(shù)小于零的冪函數(shù)圖象一定不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，反之亦然，故其中冪指數(shù)小于零的函數(shù)有21－18＝3個(gè)．


提示：

充分考慮冪函數(shù)的性質(zhì)，合理運(yùn)用集合理論解題．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：學(xué)習(xí)高手必修一數(shù)學(xué)蘇教版 蘇教版 題型：044

有冪函數(shù)y＝xα(α≠0)若干個(gè)，每個(gè)函數(shù)至少具有下面三條性質(zhì)之一：①是奇函數(shù)；②是(－∞，＋∞)內(nèi)的增函數(shù)；③函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，又已知同時(shí)具有性質(zhì)①的共有15個(gè)，具有性質(zhì)②的共有12個(gè)，具有性質(zhì)③的共有18個(gè)，試問(wèn)這些冪函數(shù)共有幾個(gè)？其中冪指數(shù)小于零的有幾個(gè)？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：設(shè)計(jì)必修一數(shù)學(xué)(人教A版) 人教A版 題型：022

當(dāng)n＞0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn有下列性質(zhì)：

(1)圖象都通過(guò)點(diǎn)________、________；

(2)在第一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨x的增大而________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：學(xué)習(xí)周報(bào)　數(shù)學(xué)　人教課標(biāo)高一版(A必修1)　2009－2010學(xué)年　第8期　總164期 人教課標(biāo)高一版 題型：022

冪函數(shù)y＝xn，當(dāng)n取不同的正數(shù)時(shí)，它們?cè)趨^(qū)間[0，1]上的圖象是一族美麗的曲線，如下圖．設(shè)點(diǎn)A(1，0)，B(0，1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)y＝xα，y＝xβ的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA．那么α＋β＝________，αβ＝________(精確到0.01．參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：安徽省蚌埠三中2011-2012學(xué)年高一12月月考數(shù)學(xué)試題 題型：022

給出下列命題：

①y＝1是冪函數(shù)；

②函數(shù)y＝|x＋2|－2x在R上有3個(gè)零點(diǎn)；

③的解集為[2，＋∞)；

④當(dāng)n≤0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn的圖象與兩坐標(biāo)軸不相交；

其中真命題的序號(hào)是_________(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案