Question

【題目】已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，其中a1=1，且a2、a4、a6+2成等比數(shù)列；數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn ， 滿足2Sn+bn=1
（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）如果cn=anbn ， 設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn ， 求證：Tn＜Sn+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，

∵a2、a4、a6+2成等比數(shù)列；

∴ =a2（a6+2），

即 =（a1+d）（a1+5d+2），d＞0．

解得d=1，

∴an=1+（n﹣1）=n．

由2Sn+bn=1，

得Sn= ，

當(dāng)n=1時(shí)，2S1+b1=1，解得b1= ，

當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ = + ，

∴ ，

∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，

故 ．

（2）解：證明：由（1）知，cn=anbn= ，

∴Tn= +…+ ，

= +…+ + ，

得 = +…+ ﹣ = ﹣ = ﹣ ，

∴Tn= ﹣ ．

又 = + = ﹣ ，

∵ = ，

∴Tn＜Sn+ ．

【解析】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系即可得出；（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．