Question

已知m∈R，f（x）=3^2x+1+（m-1）（3^x+1-1）-（m-3）•3^x．
（1）m=4時(shí)，求解方程f（x）=0；
（2）若f（x）=0有兩不等實(shí)根，求m的取值范圍；
（3）m=4時(shí)，若f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：可令3^x=t（t＞0），然后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的相關(guān)問題．
（1）m=4時(shí)，f（x）=3t²+8t-3=0，解此方程能夠得到方程f（x）=0的解；
（2）設(shè)y=3t²+2mt-m+1．由題設(shè)知該方程有兩個(gè)根0＜t₁＜t₂，由此根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)能求出m的范圍；
（3）m=4時(shí)，t=3^x＞0，y=3t²+8t-3=3(t+

4

3

)2-

25

3

＞-3，由此能導(dǎo)出a的范圍．

解答：令3^x=t，f（x）=3^2x+1+（m-1）（3^x+1-1）-（m-3）•3^x=3t²+2mt-m+1．
（1）m=4時(shí)，f（x）=3t²+8t-3=0，
解得3x=

1

3

，x=-1或3^x=-3（舍去）．
故方程f（x）=0為x=-1．

（2）設(shè)y=3t²+2mt-m+1．由題設(shè)知該方程有兩個(gè)根0＜t₁＜t₂
∴

△=4m2+12m-12＞0 f(0)=-m+1＞0 - 2m 6 ＞0

，
解得m＜-

3+ 21

2

．
（3）m=4時(shí)，
∵t=3^x＞0，
∴y=3t²+8t-3=3(t+

4

3

)2-

25

3

＞-3，
∵f（x）≥a恒成立，
∴a≤-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)、定義域和值域，解題時(shí)要注意二次函數(shù)的性質(zhì)和最值的靈活運(yùn)用．