如圖，已知四棱錐，底面為菱形，
平面，，分別是的中點．
（1）證明：；
（2）若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值．

(1）詳見解析;(2）.

解析試題分析：（1）要證明AE⊥PD，我們可能證明AE⊥面PAD，由已知易得AE⊥PA，我們只要能證明AE⊥AD即可，由于底面ABCD為菱形，故我們可以轉(zhuǎn)化為證明AE⊥BC，由已知易我們不難得到結(jié)論．
（2）由EH與平面PAD所成最大角的正切值為，我們分析后可得PA的值，由（1）的結(jié)論，我們進(jìn)而可以證明平面PAC⊥平面ABCD，則過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，然后我們解三角形ASO，即可求出二面角E-AF-C的余弦值.
（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．
因為為的中點，所以．
又，因此．
因為平面，平面，所以．
而平面，平面且，
所以平面．又平面，
所以．    5分
（2）由（1）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點，所以

，
，
所以．    8分
設(shè)平面的一法向量為，
則因此
取，則，
因為，，，所以平面，
故為平面的一法向量．
又，所以．  10分
因為二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為．  12分.
考點：1.平面與平面之間的位置關(guān)系；2.空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中,為上一點，面面，四邊形為矩形 ，,．
（1）已知,且∥面，求的值;
（2）求證：面,并求點到面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,在三棱柱中，側(cè)棱底面,為的中點,,.

（1）求證：平面；
（2）求四棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.

(1)若點M是棱PC的中點，求證：PA∥平面BMQ；
(2)若二面角M—BQ—C為30°，設(shè)PM＝tMC，試確定t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，PA⊥平面ABC，點C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，點E為線段PB的中點，點M在弧AB上，且OM∥AC.

(1)求證：平面MOE∥平面PAC.
(2)求證：平面PAC⊥平面PCB.
(3)設(shè)二面角M—BP—C的大小為θ，求cos θ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行．
請對上面定理加以證明，并說出定理的名稱及作用．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖：在四棱錐中，底面是正方形，，，點在上，且.

（1）求證：平面；   
（2）求二面角的余弦值；
（3）證明：在線段上存在點，使∥平面，并求的長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在五面體中，四邊形是邊長為的正方形，平面，，，，.

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形， 且，，是的中點．

（1）求證：平面平面；
（2）求證：∥平面．

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