Question

【題目】如圖，在三棱柱中，四邊形，均為正方形，且，M為的中點，N為的中點．

（1）求證：平面ABC；

（2）求二面角的正弦值；

（3）設P是棱上一點，若直線PM與平面所成角的正弦值為，求的值

Answer 1

【答案】（1）證明過程見詳解；（2）；（3）.

【解析】

（1）先取中點為，連接，，根據(jù)面面平行的判定定理，得到平面平面，進而可得平面ABC；

（2）先由題意，得到，，兩兩垂直，以為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，設邊長為，分別求出平面和平面的一個法向量，根據(jù)向量夾角公式，求解，即可得出結(jié)果；

（3）先設，得到，根據(jù)空間向量的夾角公式，列出等式求解，即可得出結(jié)果.

（1）取中點為，連接，，

因為為的中點，為的中點，

所以，，

又平面，平面，，

所以平面平面，

又平面，

所以平面ABC；

（2）因為四邊形，均為正方形，所以，，兩兩垂直，

以為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設邊長為，則，，，，，

所以，，

因此，，，

設平面的一個法向量為，

則，所以，令，則，

因此；

設平面的一個法向量為，

則，所以，令，則，

因此，

設二面角的大小為，

則，

所以；

（3）因為是棱上一點，設，則，

所以，

由（2）知，平面的一個法向量為，

又直線與平面所成角的正弦值為，記直線與平面所成角為

則有，

整理得，解得或（舍）

所以.