Question

如圖，橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過(guò)且于x軸垂直的直線與橢圓交于S,T，與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，且

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)A和B，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

Answer 1

(1)(2)

試題分析：
(1)拋物線的方程已知,則可以求出右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,則可以知道和直線CD的方程我餓哦x=1,聯(lián)立直線與拋物線方程可以求出C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得到CD的長(zhǎng)度,再聯(lián)立直線與橢圓方程即可求出ST兩點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得到ST的距離,利用條件建立關(guān)于的等式,與聯(lián)立即可求出的值,進(jìn)而得到橢圓的方程.
(2)因?yàn)橹本�l與橢圓有交點(diǎn),所以直線l的斜率一定存在,則設(shè)出直線l的斜率得到直線l的方程,聯(lián)立直線l與橢圓方程得到AB兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之間的韋達(dá)定理,即的值,再利用發(fā)解即可得到P點(diǎn)的坐標(biāo),因?yàn)镻在橢圓上,代入橢圓得到直線斜率k與t的方程,,利用k的范圍求解出函數(shù)的范圍即可得到t的范圍.
試題解析：
（1）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意，拋物線的焦點(diǎn)為,.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043200603773.png" style="vertical-align:middle;" />,所以         2分
又，，,又
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.         5分
（2）由題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為
由消去，得,（*）
設(shè),則是方程（*）的兩根，所以
即①  7分
且，由，得
若，則點(diǎn)與原點(diǎn)重合，與題意不符，故，
所以，  9分
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以
,即,
再由①，得又，.      13分