Question

已知：tan(α+

π

4

)=-

1

2

，(

π

2

＜α＜π)．
（1）求tanα的值；
（2）求

sin(α- π 4 )

sin2α-2cos2α

的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)兩角差的正切公式，化簡題中等式得到關(guān)于tanα的方程，解之即可得到tanα的值．
（II）根據(jù)兩角差的正弦公式與二倍角公式，化簡得原式=

2

4cosα

，由tanα=-3利用同角三角函數(shù)的關(guān)系算出cosα=-

10

10

，代入即可算出原式的值．

解答：解：（Ⅰ）∵tan(α+

π

4

)=-

1

2

，
∴

tanα+tan π 4

1-tanαtan π 4

=-

1

2

，即

tanα+1

1-tanα

=-

1

2

，
解之得tanα=-3．
（Ⅱ）

sin(α- π 4 )

sin2α-2cos2α

=

2 2 sinα- 2 2 cosα

2sinαcosα-2cos2α

=

2 2 (sinα-cosα)

2cosα(sinα-cosα)

=

2

4cosα

．
∵

π

2

＜α＜π且tanα=-3，
∴cosα=-

cos2α

=-

1 1+tan2α

=-

10

10

．
∴原式=

2

4×(- 10 10 )

=-

5

2

．

點評：本題給出α+

π

4

的正切值，求α的正切并依此求關(guān)于α的正余弦的一個分式的值．著重考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)公式和二倍角的三角函數(shù)公式等知識，屬于中檔題．