Question

【題目】已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2.

（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)，之間），點(diǎn)滿足，求與的面積之和取得最小值時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.

【解析】

（Ⅰ）由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為，把點(diǎn)代入拋物線方程，再結(jié)合點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2，利用兩點(diǎn)間距離公式得到關(guān)于的方程，解方程即可求解；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，點(diǎn)，易知直線的斜率存在，且不為零，設(shè)其方程為，

設(shè)，，由，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，，聯(lián)立直線方程和拋物線方程得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求出的值，利用數(shù)形結(jié)合可得，，再利用基本不等式求最值即可求解.

（Ⅰ）的焦點(diǎn)為，依題意有，解得，

所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其準(zhǔn)線方程為：，

所以點(diǎn)易知直線的斜率存在，且不為零，其方程為，

設(shè)，，因?yàn)?/span>，即，

∴，聯(lián)立方程，消去，得，，

根據(jù)題意，作圖如下：

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，

與的面積之和最小，最小值為.

時(shí)，，，直線的方程為；

時(shí)，，，直線的方程為，

∴與的面積之和最小值時(shí)直線的方程為或.