Question

【題目】（1）若動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線：的距離之比為，求證：動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓；

（2）設(shè)（1）中的橢圓短軸的上頂點(diǎn)為，試找出一個(gè)以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，并使得、兩點(diǎn)也在橢圓上，并求出的面積；

（3）對(duì)于橢圓(常數(shù))，設(shè)橢圓短軸的上頂點(diǎn)為，試問(wèn)：以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，且、兩點(diǎn)也在橢圓上的等腰直角三角形有幾個(gè)？

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）假設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),利用條件,建立等式,化簡(jiǎn)可判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡;

（2）根據(jù)條件可知,,應(yīng)是關(guān)于軸對(duì)稱,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,從而可求 長(zhǎng),故可求面積;

（3）與（2）相同的求法,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,求,的長(zhǎng),利用即可得出答案.

（1）動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線：的距離之比為

，化簡(jiǎn)可得:， 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓.

（2） 橢圓方程為,

又 等腰直角三角形是以為直角頂點(diǎn)，

不妨設(shè)點(diǎn)在軸左側(cè),則點(diǎn)在軸右側(cè)，

若直線、關(guān)于軸對(duì)稱且該三角形為等腰直角三角形，可取，則，

,,

聯(lián)立橢圓方程和直線方程可得:，

消掉:可得:，解得

故,可得

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得:

等腰直角三角形是以、為直角邊,

；

（3）橢圓方程為,，設(shè),

聯(lián)立橢圓方程和直線方程可得:，

消掉可得:, 解得，

又 根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得:，

同理可得，

， ，

化簡(jiǎn)可得: ,即:，

可得或

當(dāng)且，即時(shí),有三個(gè)解,即這樣的三角形有個(gè)；

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，方程為，解得，這樣的三角形只有個(gè)；

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)解,即這樣的三角形有個(gè).