Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， Sn=n2+n．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式an；
（Ⅱ）若ak+1 ， a2k ， a2k+3（k∈N*）恰好依次為等比數(shù)列{bn}的第一、第二、第三項(xiàng)，求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2．當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．
檢驗(yàn)n=1時(shí)，上式符合．
∴an=2n．．
（Ⅱ）由題知：ak+1 ， a2k ， a2k+3（k∈N*）恰好依次為等比數(shù)列{bn}的第一、第二、第三項(xiàng)，
∴ =ak+1a2k+3（k∈N*），
即（2×2k）2=2（k+1）2（2k+3），解得k=3．
∴b1=a4=8，b2=a6=12，公比q= = ．
∴bn= ，
∴ = ，
∴Tn= + +…+ ．
= +…+ ，
∴ = +…+ ﹣ = ﹣ × ，
Tn= ﹣ × ．
【解析】（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2．當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 即可得出．（Ⅱ）由題知：ak+1 ， a2k ， a2k+3（k∈N*）恰好依次為等比數(shù)列{bn}的第一、第二、第三項(xiàng)，可得 =ak+1a2k+3（k∈N*），解得k=3．可得bn= ， = ，再利用“錯(cuò)位相減法”與求和公式即可得出．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．