【題目】已知f(x)=(x2﹣2ax)lnx+2ax﹣ x2 , 其中a∈R.
(1)若a=0,且曲線f(x)在x=t處的切線l過原點,求直線l的方程;
(2)求f(x)的極值;
(3)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1 , x2(x1<x2),證明f(x1)+f(x2)< a2+3a.

【答案】
(1)解:當a=0時, ,f'(x)=2xlnx,所以切線I的斜率k=f'(t)=2tlnt,又直線I過原點,所以k=tlnt﹣ t,

,由2tlnt=tlnt﹣ t,得lnt=﹣ ,t= .所以k=f'(﹣ )=﹣ ,故切線I的方程為y=﹣


(2)解:由f(x)=(x2﹣2ax)lnx+2ax﹣ x2,可得f'(x)=(2x﹣2a)lnx,

①當a≤0時f'(x)>0得x>1,f'(x)<0得0<x<1,

f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減,f(x)在x=1時取到極小值,且f(1)=2a﹣ ,f(x)沒有極大值.

②當0<a<1時,f'(x)>0得x>1或0<x<a,f'(x)<0得a<x<1.f(x)在(0,a),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(a,1)上單調(diào)遞減,

f(x)在x=a時取到極大值,且f(a)=﹣a2lna+ ,f(x)在x=1時取到極小值,且f(1)=2a﹣ ;

③當a=1時f'(x)≥0恒成立恒成立,f(x)在R上單調(diào)遞增,f(x)沒有極大值也沒有極小值;

④當a>1時f'(x)>0得x>a或0<x<1,f'(x)<0得1<x<a,f(x)在(0,1),(a,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,a)上單調(diào)遞減,f(x)在x=a時取到極小值,且f(a)=﹣a2lna+ ,.f(x)在x=1時取到極大值,且f(1)=2a﹣

綜上可得,當a≤0時,f(x)在x=1時取到極小值2a﹣ ,f(x)沒有極大值;

當0<a<1時,f(x)在x=a時取到極大值﹣a2lna+ ,在x=1時取到極小值2a﹣ ;

當a=1時,f(x)沒有極大值也沒有極小值;

當a>1時,f(x)在x=a時取到極小值 ,在x=1時取到極大值


(3)解:由(2)知當a>0且a≠1時,f(x)有兩個極值f(x)點x1,x2,且f(x1)+f(x2)=f(a)+f(1), = ,

,則 ,所以g(a)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,由a>0且a≠1可得g(a)>g(1)=0,所以 ,即


【解析】(1)求出導函數(shù),根據(jù)切線的和導函數(shù)的關系求解 即可;、(2)求出導函數(shù)f'(x)=(2x﹣2a)lnx,對a進行分類討論,在不同區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)性,進而判斷函數(shù)的最值問題;(3)根據(jù)(2)可知a的范圍,得出f(x1)+f(x2)=f(a)+f(1),作差放縮可得 = ,構造函數(shù) ,利用導函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性,得出g(a)>g(1)=0,得出結論.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識,掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

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