Question

已知在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是D₁D、BD的中點，G在棱CD上，且CG=

1

4

CD．
（1）求證：EF⊥B₁C；
（2）求二面角F-EG-C₁的大小（用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

分析：（1）連接D₁B、BC₁，則易得EF∥D₁B故要證EF⊥B₁C只需證D₁B⊥B₁C則根據(jù)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中的性質(zhì)易得D₁B在平面BC₁上的射影為BC₁且BC₁⊥B₁C故根據(jù)三垂線定理即可得證．
（2）根據(jù)圖形分析可知所求的二面角F-EG-C₁的大小為鈍角故可先求求其補(bǔ)角即二面角F-EG-D的大�。畡t根據(jù)正方體的性質(zhì)可得取DC的中點M，連接FM，則FM⊥DC．過M做MN⊥EG于N點，連接FN，由三垂線定理可證FN⊥EG故∠MNF的鄰補(bǔ)角為二面角F-EG-C₁的平面角．然后結(jié)合題中的條件在Rt△FMN中，∠MNF=90°中即可求出∠MNF的三角函數(shù)值則二面角F-EG-C₁的平面角即為此角的補(bǔ)角．
另外此題也可用空間向量來求解．可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系且令A(yù)B=4
（1）可求出

EF

=(2，2，-2)，

B 1C

=(-4，0，-4)再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)計算可得

EF

•

B1C

=0即可證得EF⊥B₁C．
（2）求出平面FEG的法向量為

n1

平面C₁EG的法向量

n2

然后利用向量的夾角公式求出cos＜

n1

，

n2

＞．如果cos＜

n1

，

n2

＞＞0則所求的二面角F-EG-C₁的大小為π-＜

n1

，

n2

＞如果cos＜

n1

，

n2

＞＜0則則所求的二面角F-EG-C₁的大小為＜

n1

，

n2

＞．

解答：解：
解法一：
（Ⅰ）連接D₁B、BC₁
∵E、F是D₁D、BD的中點，
∴EF∥D₁B，且EF=

1

2

D1B
又∵D₁C₁⊥平面BC₁
∴D₁B在平面BC₁上的射影為BC₁．
∵BC₁⊥B₁C
∴由三垂線定理知B₁C⊥D₁B
∴EF⊥B₁C
（Ⅱ）取DC的中點M，連接FM，則FM⊥DC．過M做MN⊥EG于N點，連接FN
∴由三垂線定理可證FN⊥EG
∴∠MNF的鄰補(bǔ)角為二面角F-EG-C₁的平面角
設(shè)正方體的棱長為4，則FM=2
在Rt△EDG中，△EDG～△MNG，
∴MN=

MG•ED

EG

=

1×2

13

=

2 13

13

． 
在Rt△FMN中，∠MNF=90°
∴tan∠MNF=

FM

MN

=

13

∴∠MNF=arctan

13

∴二面角F-EG-C₁的大小為π-arctan

13

解法2：建立如圖直角坐標(biāo)系，令A(yù)B=4，則D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），D₁（0，0，4），C₁（0，4，4），E（0，0，2），F(xiàn)（2，2，0），G（0，3，0），B₁（4，4，4）．          
（1）∵

EF

=(2，2，-2)，

B 1C

=(-4，0，-4)
∵

EF

•

B1C

=0∴EF⊥B1C
（3）設(shè)平面FEG的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，平面C₁EG的法向量

n2

=(1，0，0)

EF

=(2，2，-2)

EG

=(0，3，-2)
∵

EF

•

n1

=2x1+2y1-2z1=0

EG

•

n1

=3y1-2z1=0
∴

n1

=(1，2，3)cosθ=

n1 • n2

|n1|•|n2|

=

1

14 × 1

=

14

14

故二面角F-EG-C₁的大小為π-arccos

14

14

點評：本題主要考察了線線垂直的證明和二面角的求解．解題的關(guān)鍵是關(guān)于線線垂直的證明可利用三垂線定理證（如法一）也可以利用空間向量來證（如法二）而對于二面角的求解可采用定義法即找到一個面到另一個面的一條垂線然后再利用三垂線定理即可作出二面角的平面角，另外也可利用空間向量求解二面角即求出二面角的兩個半平面的法向量然后利用向量的夾角公式求出法向量的夾角的余弦值再結(jié)合圖形特征和法向量的夾角的余弦值的正負(fù)得出二面角的大小是法向量的夾角還是其補(bǔ)角！