Question

【題目】函數(shù)，，其中常數(shù).

（1）若函數(shù)與有相同的極值點(diǎn)，求的值；

（2）若，判斷函數(shù)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn).

【解析】

（1）先求出的極值點(diǎn)，再通過與有相同的極值點(diǎn)，可求出的值；

（2）判斷函數(shù)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合a的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的性質(zhì)可判斷函數(shù)的零點(diǎn)存在情況.

解：（1），的定義域都為，

，

令，得；令，得；令，得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)在處取得極小值；

又.

∴，解得，

經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，故.

（2）函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

，則.

①當(dāng)時(shí)，令，則.

令，得，

令，得，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

故.

則.故在上是增函數(shù)，此時(shí)由，可得函數(shù)有唯一的零點(diǎn).

即函數(shù)與的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，，

并且對(duì)于負(fù)數(shù)，有

，

，

，

，

又因?yàn)?/span>，

所以，

所以.

所以在區(qū)間上存在負(fù)數(shù)，使得，

則在上，，是增函數(shù)，

在區(qū)間上，，是減函數(shù).

則，.

所以在上，有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；

在區(qū)間上，，且是增函數(shù)，

所以存在正數(shù)，使得在上，，是減函數(shù)；

在上，，是增函數(shù).

于是有，.

所以在上，恰有唯一的零點(diǎn)

所以當(dāng)時(shí)，在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn).

即函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn).