Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= （e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．
（1）證明：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調性，再根據結論確定f（m2﹣m+1）+f（﹣ ）與0的大小關系；
（3）是否存在實數(shù)k，使得函數(shù)f（x）在定義域[a，b]上的值域為[kea ， keb]．若存在，求出實數(shù)k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：函數(shù)f（x）定義域為R，

對于任意的x∈R，都有f（﹣x）= = =﹣f（x），

所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)

（2）解：f（x）= 在R上為增函數(shù)，理由如下：

∵f′（x）= ＞0恒成立，

∴f（x）= 在R上為增函數(shù)，

∵

∴f（m2﹣m+1）≥f（﹣ ）=﹣f（ ），

∴f（m2﹣m+1）+f（﹣ ）≥0

（3）∵f（x）為R上的增函數(shù)且函數(shù)f（x）在定義域[a，b]上的值域為[kea，keb]．

∴k＞0且 ，

=kex在R上有兩個不等實根；

令t=ex，t＞0且單調增，問題即為方程kt2+（k﹣1）t+1=0在（0，+∞）上有兩個不等實根，

設h（t）=kt2+（k﹣1）t+1，

則 ，解得：0＜k＜3﹣2

【解析】（1）根據奇函數(shù)的定義，可判斷函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；（2）f（x）= 在R上為增函數(shù)，利用導數(shù)法可證明結論，進而判斷出f（m2﹣m+1）+f（﹣ ）≥0；（3）若函數(shù)f（x）在定義域[a，b]上的值域為[kea，keb]．則 =kex在R上有兩個不等實根，進而得到實數(shù)k的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)的圖象(函數(shù)的圖像是由直角坐標系中的一系列點組成；圖像上每一點坐標（x，y）代表了函數(shù)的一對對應值，他的橫坐標x表示自變量的某個值，縱坐標y表示與它對應的函數(shù)值)，還要掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性(一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減)的相關知識才是答題的關鍵．