Question

【題目】已知函數f（x）=（ ）x的圖象與函數y=g（x）的圖象關于直線y=x對稱．
（1）若f（g（x））=6﹣x2 ， 求實數x的值；
（2）若函數y=g（f（x2））的定義域為[m，n]（m≥0），值域為[2m，2n]，求實數m，n的值；
（3）當x∈[﹣1，1]時，求函數y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=（ ）x的圖象與函數y=g（x）的圖象關于直線y=x對稱，

∴g（x）= ，

∵f（g（x））=6﹣x2，

∴ =6﹣x2=x，

即x2+x﹣6=0，

解得x=2或x=﹣3（舍去），

故x=2，

（2）解：y=g（f（x2））= =x2，

∵定義域為[m，n]（m≥0），值域為[2m，2n]，

，

解得m=0，n=2，

（3）解：令t=（ ）x，

∵x∈[﹣1，1]，

∴t∈[ ，2]，

則y=[f（x）]2﹣2af（x）+3等價為y=m（t）=t2﹣2at+3，

對稱軸為t=a，

當a＜ 時，函數的最小值為h（a）=m（ ）= ﹣a；

當 ≤a≤2時，函數的最小值為h（a）=m（a）=3﹣a2；

當a＞2時，函數的最小值為h（a）=m（2）=7﹣4a；

故h（a）=

【解析】（1）根據函數的對稱性即可求出g（x），即可得到f（g（x））=x，解得即可．（2）先求出函數的解析式，得到 ，解得m=0，n=2，（3）由x∈[﹣1，1]可得t∈[ ，2]，結合二次函數的圖象和性質，對a進行分類討論，即可得到函數y=f2（x）﹣2af（x）+3的最小值h（a）的表達式．
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲担焕�用圖象求函數的最大（�。┲�；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能正確解答此題．