Question

某大學(xué)2009屆入學(xué)測(cè)試中，要求每位考生在10道題中隨機(jī)抽出2道題回答．
（I） 現(xiàn)在某位考生會(huì)答10道題中的6道，求這個(gè)考生答錯(cuò)題目個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（II）若答對(duì)其中一題即為及格，如果某位考生及格的概率小于

2

3

，那么他最多會(huì)幾道題？

Answer 1

分析：（1）答錯(cuò)題目的個(gè)數(shù)ξ=0，1，2，然后根據(jù)等可能事件的概率公式求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求出所求；
（2）設(shè)該考生會(huì)x道題，不會(huì)10-x道題，然后根據(jù)某位考生及格的概率小于

2

3

建立不等式，解之即可求出所求．

解答：解：（1）答錯(cuò)題目的個(gè)數(shù)ξ=0，1，2
P（ξ=0）=

C 2 6

C 2 10

=

1

3

，P（ξ=1）=

C 1 6 × C 1 4

C 2 10

=

8

15

，P（ξ=2）=

C 2 4

C 2 10

=

2

15

∴分布列為：

ξ	0	1	2
P	1 3	8 15	2 15

期望Eξ=0×

1

3

+1×

8

15

+2×

2

15

=

4

5

（道題）…（7分）
（2）設(shè)該考生會(huì)x道題，不會(huì)10-x道題，則1-

C 2 10-x

C 2 10

＜

2

3

∴

(10-x)(9-x)

45

＞

2

3

…（10分）
解得：x＜4或x＞15（舍），故該考生最多會(huì)3道題…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等可能事件的概率，以及離散型隨機(jī)變量及其分布列和數(shù)學(xué)期望，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．