【題目】過點（0，4），斜率為﹣1的直線與拋物線y2=2px（p＞0）交于兩點A、B，且弦|AB|的長度為4 ．
（1）求p的值；
（2）求證：OA⊥OB（O為原點）．

【答案】解：（1）直線方程為y=﹣x+4，聯(lián)立方程消去y得，x2﹣2（p+4）x+16=0．
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），得x1+x2=2（p+4），x1x2=16，△=4（p+2）2﹣64＞0．
所以|AB|=|x1﹣x2|==4，所以p=2．
（2）證明：由（1）知，x1+x2=2（p+4）=12，x1x2=16，
∴y1y2=（﹣x1+4）（﹣x2+4）=﹣8p=﹣16
∴x1x2+y1y2=0，∴OA⊥OB．
【解析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理，計算弦|AB|的長度，即可求p的值；
（2）證明x1x2+y1y2=0，即可得到OA⊥OB．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】空氣質(zhì)量主要受污染物排放量及大氣擴散等因素的影響，某市環(huán)保監(jiān)測站2014年10月連續(xù)10天（從左到右對應1號至10號）采集該市某地平均風速及空氣中氧化物的日均濃度數(shù)據(jù)，制成散點圖如圖所示．

（Ⅰ）同學甲從這10天中隨機抽取連續(xù)5天的一組數(shù)據(jù)，計算回歸直線方程．試求連續(xù)5天的一組數(shù)據(jù)中恰好同時包含氧化物日均濃度最大與最小值的概率；

（Ⅱ）現(xiàn)有30名學生，每人任取5天數(shù)據(jù)，對應計算出30個不同的回歸直線方程．已知30組數(shù)據(jù)中有包含氧化物日均濃度最值的有14組．現(xiàn)采用這30個回歸方程對某一天平均風速下的氧化物日均濃度進行預測，若預測值與實測值差的絕對值小于2，則稱之為“擬合效果好”，否則為“擬合效果不好”．根據(jù)以上信息完成下列2×2聯(lián)表，并分析是否有95%以上的把握說擬合效果與選取數(shù)據(jù)是否包含氧化物日均濃度最值有關．

預測效果好

擬合效果不好

合計

數(shù)據(jù)有包含最值

5

數(shù)據(jù)無包含最值

4

合計

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（其中）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點，求證：

（1）直線EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐ABCD﹣PGFE中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱垂直于底面，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA=1．
（Ⅰ）求PD與BC所成角的大�。�
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）求二面角A﹣PC﹣D的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】研究人員隨機調(diào)查統(tǒng)計了某地1000名“上班族”每天在工作之余使用手機上網(wǎng)的時間，并將其繪制為如圖所示的頻率分布直方圖．若同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表，則可估計該地“上班族”每天在工作之余使用手機上網(wǎng)的平均時間是（ ）

A.1.78小時
B.2.24小時
C.3.56小時
D.4.32小時

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中， ， ， 分別為棱的中點.

（1）在平面內(nèi)過點作平面交于點，并寫出作圖步驟，但不要求證明.

（2）若側(cè)面側(cè)面，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列命題中，真命題是（　�。�
A.?x0∈R，
B.?x∈R，
C.“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充要條件
D.設 ， 為向量，則“|?|=||||”是“∥”的充要條件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若在點處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）討論函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cosC= ．
（1）求角B的大小；
（2）若BD為AC邊上的中線，cosA= ，BD= ，求△ABC的面積．

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