【題目】如圖，有一塊三棱錐形木塊，各面均是銳角三角形，其中面內(nèi)有一點.

（1）若要在面內(nèi)過點畫一條線段，其中點在線段上，點在線段上，且滿足與垂直，該如何求作？請在圖中畫出線段并說明畫法，不必證明；

（2）經(jīng)測量，，，，，若恰為三角形的重心，為（1）中所求線段，求三棱錐的體積.

【答案】（1）作圖詳見解析；（2）.

【解析】

（1）先在上任取一點，分別在平面和平面內(nèi)作的垂線分交、于點、，可得出平面，進而得出，然后分兩種情況討論，和，即可作出；

（2）先證明出，根據(jù)重心的性質(zhì)得出三棱錐的體積為三棱錐體積的，利用余弦定理計算出、，進而計算出的面積，由此可計算出三棱錐的體積，進而得出三棱錐的體積.

（1）如圖，在上任取一點；

過點在平面內(nèi)作的垂線，交于；

過點在平面內(nèi)作的垂線，交于.

連接，若過點，則就是所求線段；

若不過點，則過點作的平行線，與、相交即得線段.

（2）取中點，連、，

因為為三角形的重心，故在上，且.

由題意知，，，，故平面，

平面，，

又，與共面，于是，，

故三棱錐的體積為三棱錐體積的.

，，則為等邊三角形，，

，

在中，由余弦定理得，

整理得，解得或.

若，此時為等腰三角形，，，合乎題意；

若，則，為鈍角，不合乎題意.

同理可得，，

在中，，，，由余弦定理得，

，，

故.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義在上的偶函數(shù)滿足，且，當時，.已知方程在區(qū)間上所有的實數(shù)根之和為.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則__________，__________.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，.

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩人投籃命中的概率分別為與，各自相互獨立.現(xiàn)兩人做投籃游戲，共比賽3局，每局每人各投一球.

（1）求比賽結(jié)束后甲的進球數(shù)比乙的進球數(shù)多1的概率；

（2）設表示比賽結(jié)束后甲、乙兩人進球數(shù)的差的絕對值，求的概率分布和數(shù)學期望.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知集合，，，令表示集合所含元素的個數(shù).

（1）寫出的值；

（2）當時，寫出的表達式，并用數(shù)學歸納法證明.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個點A、B、C、A1、、B1、C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有 種（用數(shù)字作答）.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一個三位數(shù)：個位、十位、百位上的數(shù)字依次為，，，當且僅當，時，稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”（如243），現(xiàn)從集合中取出三個不同的數(shù)組成一個三位數(shù)，則這個三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為（ ）

A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知射線l：θ＝與曲線C：（t為參數(shù)）相交于A，B兩點.

（1）寫出射線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）求線段AB中點的極坐標.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】揚州大學數(shù)學系有6名大學生要去甲、乙兩所中學實習，每名大學生都被隨機分配到兩所中學的其中一所.

（1）求6名大學生中至少有1名被分配到甲學校實習的概率；

（2）設，分別表示分配到甲、乙兩所中學的大學生人數(shù)，記，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案