Question

（2013•大連一模）等腰Rt△ACB，AB=2，∠ACB=

π

2

．以直線AC為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，D為圓錐底面一點(diǎn)，BD⊥CD，CH⊥AD于點(diǎn)H，M為AB中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐C-HAM的體積最大時(shí)，CD的長(zhǎng)為（　�。�

• A．

  5

  3

• B．

  2 5

  3

• C．

  6

  3

• D．

  2 6

  3

Answer 1

分析：根據(jù)題意，結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì)，證出AB⊥平面CMH，從而AM是三棱錐C-HAM的高，得V_C-HAM=

1

3

S_△CMH×AM，因此當(dāng)S_△CMH達(dá)到最大值時(shí)，三棱錐C-HAM的體積最大．設(shè)∠BCD=θ，利用Rt△ACD中等積轉(zhuǎn)換和Rt△ABD∽R(shí)t△AHM，算出CH、HM關(guān)于θ的式子，從而得到S_△CMH=

1

2

CH•HM=

2 tanθ

4+2tan2θ

，最后根據(jù)基本不等式得當(dāng)tanθ=

2

時(shí)，S_△CMH達(dá)到最大值，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系算出cosθ=

3

3

，從而得出CD的長(zhǎng)為

6

3

，即為當(dāng)三棱錐C-HAM的體積最大時(shí)CD的長(zhǎng)．

解答：解：根據(jù)題意，得
∵AC⊥平面BCD，BD?平面BCD，∴AC⊥BD，
∵CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，可得BD⊥CH，
∵CH⊥AD，AD∩BD=D，∴CH⊥平面ABD，可得CH⊥AB，
∵CM⊥AB，CH∩CM=C，∴AB⊥平面CMH，
因此，三棱錐C-HAM的體積V=

1

3

S_△CMH×AM=

1

3

S_△CMH
由此可得，當(dāng)S_△CMH達(dá)到最大值時(shí)，三棱錐C-HAM的體積最大
設(shè)∠BCD=θ，則Rt△BCD中，BC=

2

2

AB=

2

可得CD=

2

cosθ，BD=

2

sinθ
Rt△ACD中，根據(jù)等積轉(zhuǎn)換得CH=

AC×CD

AD

=

2cosθ

2+2cos2θ

Rt△ABD∽R(shí)t△AHM，得

HM

BD

=

AB

AD

，所以HM=

AB×BD

AD

=

2 sinθ

2+2cos2θ

因此，S_△CMH=

1

2

CH•HM=

2 sinθcosθ

2+2cos2θ

=

2 tanθ

4+2tan2θ

∵4+2tan²θ≥4

2

tanθ，
∴S_△CMH=

2 tanθ

4+2tan2θ

≤

2 tanθ

4 2 tan θ

=

1

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)tanθ=

2

時(shí)，S_△CMH達(dá)到最大值，三棱錐C-HAM的體積同時(shí)達(dá)到最大值．
∵tanθ=

2

＞0，可得sinθ=

2

cosθ＞0
∴結(jié)合sin²θ+cos²θ=1，解出cos²θ=

1

3

，可得cosθ=

3

3

（舍負(fù)）
由此可得CD=

2

cosθ=

6

3

，
即當(dāng)三棱錐C-HAM的體積最大時(shí)，CD的長(zhǎng)為

6

3

故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出旋轉(zhuǎn)體中，求三棱錐的體積最大值時(shí)CD的長(zhǎng)，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、基本不等式求最值、相似三角形中比例線段的計(jì)算和同角三角函數(shù)基本關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．