Question

（2013•大連一模）定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（3）=1，f（-2）=3，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，已知y=f′（x）的圖象如圖所示，且f′（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，若非負(fù)實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足f（2a+b）≤1，f（-a-2b）≤3，則

b+2

a+1

的取值范圍是（　�。�

• A．[

  4

  5

  ，3]
• B．(0，

  4

  5

  ]∪[3，+∞)
• C．[

  4

  5

  ，5]
• D．(0，

  4

  5

  ]∪[5，+∞)

Answer 1

分析：根據(jù)y=f′（x）圖象得到函數(shù)的單調(diào)性，從而將f（2a+b）≤1化成f（2a+b）≤f（3），得到0≤2a+b≤3，同理化簡(jiǎn)f（-a-2b）≤3，得到-2≤-a-2b≤0．然后在aob坐標(biāo)系內(nèi)作出相應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖所示的陰影部分平面區(qū)域，利用直線(xiàn)的斜率公式即可求出

b+2

a+1

的取值范圍．

解答：解：由y=f′（x）圖象可知，當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0，
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
又∵a，b為非負(fù)實(shí)數(shù)，
∴f（2a+b）≤1可化為f（2a+b）≤1=f（3），可得0≤2a+b≤3，
同理可得-2≤-a-2b≤0，即0≤a+2b≤2，
作出以及a≥0和b≥0所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，
得到如圖的陰影部分區(qū)域，
解之得A（0，1）和B（1.5，0）
而等于可行域內(nèi)的點(diǎn)與P（-1，-2）連線(xiàn)的斜率，
結(jié)合圖形可知：k_PB是最小值，k_PA是最大值，
由斜率公式可得：k_PA=

1+2

0+1

=3，k_PB=

0+2

1.5+1

=

4

5

，
故

b+2

a+1

的取值范圍為[

4

5

，3]
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題在給出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)圖象基礎(chǔ)之上，求滿(mǎn)足不等式組的

b+2

a+1

的取值范圍．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、直線(xiàn)的斜率公式和二元一元不等式組表示的平面區(qū)域等知識(shí)，屬于中檔題．