【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，若在，處的導數(shù)相等，證明：；

（2）若有兩個不同的零點，，證明：．

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）得出導函數(shù)，由題意得出，利用基本不等式得出，即可證明；

（2）由函數(shù)零點的性質可得，整理得出，構造函數(shù)，利用導數(shù)的單調性得出，令，整理得到，從而得出，利用導數(shù)得出函數(shù)的單調性，結合題設條件得出，從而得出，最后由不等式的性質得出結論.

（1）當時，

所以，由題意，得，化簡，得

所以，

所以

（2）由題意，得

兩式相減，得

所以

構造函數(shù)

則，所以函數(shù)在上單調遞增

所以當時，

令，則，化簡得

所以，所以．

因為

若，則，單調遞減，不可能有兩個不同的零點，所以

，

則在上單調遞減，在上單調遞增

又當時，，當時，，所以

所以，即，解得

故．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為軸非負半軸建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；

（2）在（1）中，設曲線經過伸縮變換得到曲線，設曲線上任意一點為，當點到直線的距離取最大值時，求此時點的直角坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某水果批發(fā)商經銷某種水果（以下簡稱水果），購入價為300元/袋，并以360元/袋的價格售出，若前8小時內所購進的水果沒有售完，則批發(fā)商將沒售完的水果以220元/袋的價格低價處理完畢（根據(jù)經驗，2小時內完全能夠把水果低價處理完，且當天不再購入）.該水果批發(fā)商根據(jù)往年的銷量，統(tǒng)計了100天水果在每天的前8小時內的銷售量，制成如下頻數(shù)分布條形圖.

記表示水果一天前8小時內的銷售量，表示水果批發(fā)商一天經營水果的利潤，表示水果批發(fā)商一天批發(fā)水果的袋數(shù).

（1）若，求與的函數(shù)解析式；

（2）假設這100天中水果批發(fā)商每天購入水果15袋或者16袋，分別計算該水果批發(fā)商這100天經營水果的利潤的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，每天應購入水果15袋還是16袋？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，直線過右焦點，過點的直線交橢圓于，兩點（均不為頂點）

（1）求橢圓的方程；

（2）已知是橢圓的右頂點，直線，若直線與直線交于點直線與直線交于點，試判斷是否為定值，若是，求出定值，若不是請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）討論在區(qū)間上的零點個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）設函數(shù)()，討論的單調性；

（3）若對任意，恒有關于的不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦距為4．且過點．

（1）求橢圓E的方程；

（2）設，，，過B點且斜率為的直線l交橢圓E于另一點M，交x軸于點Q，直線AM與直線相交于點P．證明：（O為坐標原點）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知三棱錐中，為等腰直角三角形，，平面，且，且，分別為的中點．

（1）求證：直線平面；

（2）求銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設實數(shù)x，y滿足不等式組，若z＝ax+y的最大值為1，則a＝（ ）

A.B.C.﹣2D.2

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