【題目】已知函數(shù)

(1)判斷的單調(diào)性;

(2)(1+∞)上恒成立,且=0有唯一解,試證明a<1

【答案】(1)fx)在(0,)遞減,在(,+∞)遞增;(2)見解析

【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

(2)問題轉(zhuǎn)化為﹣2lnx00,令gx0)=﹣2lnx0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

(1)函數(shù)的定義域是(0,+∞),

f′(xxa,

易知x2ax﹣2=0有兩根,x10,x2,

fx)在(0,)遞減,在(,+∞)遞增;

(2)∵a<0,∴1,

f′(x)在(1,+∞)上有唯一零點(diǎn)x0

f′(xxa,∴x0a=0①,

要使fx)≥0在區(qū)間(1,+∞)恒成立,且fx)=0有唯一解,

fx0)=0,即﹣2lnx01)﹣ax0=0②,

由①②得:

﹣2lnx01)﹣x0x0)=0,

故﹣2lnx00,

gx0)=﹣2lnx0,

顯然gx0)在(1,+∞)遞減,

g(1)=2>0,g(2)=﹣2ln20,

∴1<x0<2,

又∵ax0在(1,+∞)遞增,

a<1.

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