若 數(shù)列{an}前n項和為Sn（n∈N*）
（1）若首項a1=1，且對于任意的正整數(shù)n（n≥2）均有
Sn+k
Sn-k
=
an-k
an+k
，（其中k為正實常數(shù)），試求出數(shù)列{an}的通項公式．
（2）若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為q，首項為a1，k為給定的正實數(shù)，滿足：
①a1＞0，且0＜q＜1
②對任意的正整數(shù)n，均有Sn-k＞0；
試求函數(shù)f（n）=
Sn+k
Sn-k
+k
an-k
an+k
的最大值（用a1和k表示）
分析：（1）先根據(jù)
Sn+k
Sn-k
=
an-k
an+k
，（其中k為正實常數(shù)），求出Sn=-an（n≥2），然后利用an=Sn-Sn-1進(jìn)行求解，注意驗證首項；
（2）先求出f（n+1），然后根據(jù)條件判定f（n+1）-f（n）的符號，從而確定f（n）的單調(diào)性，從而求出最大值．
解答：解：（1）∵
Sn+k
Sn-k
=
an-k
an+k
，（其中k為正實常數(shù)），
∴Sn=-an（n≥2）
∴當(dāng)n≥2時an=Sn-Sn-1=-an+an-1
即
an
an-1
=
1
2
，a2=-
1
2

∴an=
-(
1
2
)n-1，n≥2
1，n=1

（2）f（n）=
Sn+k
Sn-k
+k
an-k
an+k

f（n+1）=
Sn+1+k
Sn+1-k
+k
an+1-k
an+1+k
=
Sn+an+1+k
Sn+an+1-k
+k
anq -k
anq+k

∵a1＞0，且0＜q＜1對任意的正整數(shù)n，均有Sn-k＞0
∴f（n+1）-f（n）=
Sn+an+1+k
Sn+an+1-k
+k
anq -k
anq+k
-
Sn+k
Sn-k
+k
an-k
an+k
＜0
∴f（n）關(guān)于n是一個單調(diào)遞減的函數(shù)，最大值為
a1+k
a1-k
+k
a1-k
a1+k
．
點評：本題主要考查了數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列的單調(diào)性的判定和最值的求解，是一道綜合題，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列{an}前n項和Sn=n2+n-1，則數(shù)列{an}的通項公式為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列an前n項的和Sn滿足log2（Sn+1）=n+1，則該數(shù)列的通項公式為an=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列關(guān)于數(shù)列的說法：
①若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且p+q=r（p，q，r為正整數(shù)）則ap+aq=ar；
②若數(shù)列{an}前n項和Sn=(n+1)2，則{an}是等差數(shù)列；
③若數(shù)列{an}滿足an+1=2an，則{an}是公比為2的等比數(shù)列；
④若數(shù)列{an}滿足Sn=2an-1，則{an}是首項為1，公比為2等比數(shù)列．
其中正確的個數(shù)為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：若數(shù)列{an}對任意n∈N*，滿足
an+2-an+1
an+1-an
=k（k為常數(shù)），稱數(shù)列{an}為等差比數(shù)列．
（1）若數(shù)列{an}前n項和Sn滿足Sn=3（an-2），求{an}的通項公式，并判斷該數(shù)列是否為等差比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，試判斷{an}是否一定為等差比數(shù)列，并說明理由；
（3）若數(shù)列{an}為等差比數(shù)列，定義中常數(shù)k=2，a2=3，a1=1，數(shù)列{
2n-1
an+1
}的前n項和為Tn，求證：Tn＜3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•嘉定區(qū)一模）定義x1，x2，…，xn的“倒平均數(shù)”為
n
x1+x2+…+xn
（n∈N*）．
（1）若數(shù)列{an}前n項的“倒平均數(shù)”為
1
2n+4
，求{an}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足：當(dāng)n為奇數(shù)時，bn=1，當(dāng)n為偶數(shù)時，bn=2．若Tn為{bn}前n項的倒平均數(shù)，求
lim
n→∞
Tn；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=-x2+4x，對（1）中的數(shù)列{an}，是否存在實數(shù)λ，使得當(dāng)x≤λ時，f（x）≤
an
n+1
對任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的實數(shù)λ；若不存在，說明理由．

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