Question

已知函數的導函數為，的圖象在點，處的切線方程為，且，直線是函數的圖象的一條切線.
（1）求函數的解析式及的值；
（2）若對于任意，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

(1) ,(2).

試題分析：(1) 先求,根據導數的幾何意義，得：,,列方程，解得,解得,易知與相交于，又相切，所以函數在原點處的切線斜率為1,即,求出;(2)代入函數后，整理成的形式，所以即求在，的最小值，設,利用分析,結合定義域，求出最小值.較難題型.
試題解析：（1）解：，            1分
由題意，，①
，②
，③
由①②③解得，，，
所以.              4分
由題意，與相切可知，函數在原點處的切線斜率為1，
因為，所以.          6分
（2）解：問題等價于，
整理得=對于任意，恒成立，
只需求在，的最小值.         8分
設，則，        10分
又，，
所以必有一實根，且，，，
當，時，；當，時，，
，
所以在，的最小值為1，       13分
所以，
即實數的取值范圍是，.            14分