函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx在x=-1處取得極值，且f（x）的圖象在P（1，f（1））處的切線平行于直線y=8x．
（I）求函數(shù)f（x）解要式和極值；
（II）對任意α，β∈R，求證數(shù)學(xué)公式．

解：（I）由得得，
∴f（x）=x3+2x2+x．
則f'（x）=3x2+4x+1，由f'（x）=0得x=-1或x=-
．
（II）∵α，β∈R，∴-1≤sinα≤1，-1≤cosβ≤1，
由（I）知f（x）在[-1，1]上的最大，最小值分別為，
∴．
分析：（I）由 解出a 和 b 的值，可得函數(shù)f（x）的解析式以及其導(dǎo)數(shù)的解析式，
求出導(dǎo)數(shù)等于0的根，考查導(dǎo)數(shù)在根的兩側(cè)的符號，求出極值．
（II）結(jié)合 （I）求出 f（x）在[-1，1]上的最大和最小值，|f（sinα）-f（cosβ）|小于或等于
最大值減去最小值．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)在某處取的價值的條件，導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，函數(shù)f（x）在R上有三個零點(diǎn)．
（1）求b的值；
（2）若1是其中一個零點(diǎn)，求f（2）的取值范圍；
（3）若a=1，g（x）=f′（x）+3x2+lnx，試問過點(diǎn)（2，5）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•東城區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，曲線y=f（x）在點(diǎn)x=1處的切線l不過第四象限且斜率為3，又坐標(biāo)原點(diǎn)到切線l的距離為
10
10
，若x=
2
3
時，y=f（x）有極值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•寧波模擬）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2-a2x+2，a∈R．
（1）若a＜0時，試求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若a=0，且曲線y=f（x）在點(diǎn)A、B（A、B不重合）處切線的交點(diǎn)位于直線x=2上，證明：A、B 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和小于4；
（3）如果對于一切x1、x2、x3∈[0，1]，總存在以f（x1）、f（x2）、f（x3）為三邊長的三角形，試求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x3-3ax+b（a≠0），已知曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（x））處在直線y=8相切．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x）=x3+ax2-x+1的極值情況，4位同學(xué)有下列說法：甲：該函數(shù)必有2個極值；乙：該函數(shù)的極大值必大于1；丙：該函數(shù)的極小值必小于1；丁：方程f（x）=0一定有三個不等的實(shí)數(shù)根． 這四種說法中，正確的個數(shù)是（　�。�

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