【題目】如圖，在多面體中，，，，四邊形是矩形，平面平面，.

（1）證明：平面；

（2）若二面角的正弦值為，求的值.

【答案】(1)證明見解析. (2) 或.

【解析】

(1) 取的中點(diǎn),連接，可得，再推導(dǎo)出，從而得證.
(2) 由題目條件和（1）可知兩兩垂直, 以分別為 軸，建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法，求出的值.

(1)取的中點(diǎn),連接.

由，，.

則為正方形.所以.

又平面平面，且平面平面.

平面,所以平面.

又平面.則.

又四邊形是矩形，則,且.

∴平面.

(2)由題目條件和（1）可知兩兩垂直.

故以點(diǎn)為原點(diǎn)，以分別為 軸，建立空間直角坐標(biāo)系.如圖.

設(shè)，則.

所以，,,,.

則,,.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為.

所，即

取

設(shè)平面的一個(gè)法向量為.

所以，即

取

二面角的正弦值為，則余弦值為.

即 ，解得：或

所以或.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著經(jīng)濟(jì)模式的改變，微商和電商已成為當(dāng)今城鄉(xiāng)一種新型的購銷平臺(tái)．已知經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個(gè)銷售季度內(nèi)，沒售出1噸該商品可獲利潤0.5萬元，未售出的商品，每1噸虧損0.3萬元．根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗(yàn)，得到一個(gè)銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖如圖所示．已知電商為下一個(gè)銷售季度籌備了130噸該商品，現(xiàn)以（單位：噸，）表示下一個(gè)銷售季度的市場(chǎng)需求量，（單位：萬元）表示該電商下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤．

（Ⅰ）視分布在各區(qū)間內(nèi)的頻率為相應(yīng)的概率，求；

（Ⅱ）將表示為的函數(shù)，求出該函數(shù)表達(dá)式；

（Ⅲ）在頻率分布直方圖的市場(chǎng)需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值（組中值）代表該組的各個(gè)值，并以市場(chǎng)需求量落入該區(qū)間的頻率作為市場(chǎng)需求量取該組中值的概率（例如，則取的概率等于市場(chǎng)需求量落入的頻率），求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知直線與曲線交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，求．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線交橢圓于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線C上一點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，.

（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)Q為拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于OQ的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)記，的面積分別為，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 （φ為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2是圓心為（2，），半徑為1的圓．

（1）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)M為曲線C1上的點(diǎn)，N為曲線C2上的點(diǎn)，求|MN|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知常數(shù)a≠0，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且

（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）若且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若數(shù)列滿足: 對(duì)于任意給定的正整數(shù)k，是否存在p，，使若存在，求p，q的值（只要寫出一組即可）；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若，求點(diǎn)到直線的最大距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，平面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB =2BC，點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn).

（1）求證：AC//平面DQF；

（2）若∠ABC=60°，AC⊥FB，求BC與平面DQF所成角的正弦值.

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