【題目】已知函數(shù), .
(1)若,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)是否存在實(shí)數(shù),對(duì)任意, , 有恒成立,若存在,求出的范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)記,如果是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),且, 是的導(dǎo)函數(shù),證明: .
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.
【解析】試題分析(1)求導(dǎo)得分, , 三種情況討論可得的單調(diào)區(qū)間.
(2) 恒成立,不妨設(shè),即,令,則在上為增函數(shù),只要在恒成立求解即可.
(3)利用,( )是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)這一條件得,兩式推出關(guān)于,和a的一個(gè)等式,即可利用表示。求出之后,將代入得,構(gòu)造函數(shù),其中,利用導(dǎo)數(shù)求得其最大值為零,又表達(dá)式中, ,得證.
試題解析:(1)的定義域?yàn)?/span>
①若,則, , 在上單調(diào)遞增;
②若,則,而,∴,
當(dāng)時(shí), ;當(dāng)及時(shí),
所以在上單調(diào)遞減,在及單調(diào)遞增;
③若,則,同理可得在上單調(diào)遞減,在及單調(diào)遞增.
(2)假設(shè)存在,對(duì)任意,有恒成立,
不妨設(shè),只要,即,
令,只要在上為增函數(shù),
只要在恒成立,只要,故存在時(shí),對(duì)任意,有恒成立.
(3)由題意知,
兩式相減,整理得,所以
,又因?yàn)?/span>,
所以
令,則,
所以在上單調(diào)遞減,故
又,所以
點(diǎn)晴:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性,不等式恒成立,及不等式的證明問(wèn)題.要求單調(diào)性,求導(dǎo)比較導(dǎo)方程的根的大小,解不等式可得單調(diào)區(qū)間,要證明不等式恒成立問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)證明新函數(shù)單調(diào),只需要證明其導(dǎo)函數(shù)大于等于0(或者恒小于等于0即可),要證明一個(gè)不等式,我們可以先根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù),求其值最值即可.這類(lèi)問(wèn)題的通解方法就是:劃歸與轉(zhuǎn)化之后,就可以假設(shè)相對(duì)應(yīng)的函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,圖像與性質(zhì),進(jìn)而求解得結(jié)果.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù),并且滿足下面三個(gè)條件:①對(duì)任意正數(shù),都有;②當(dāng)時(shí), ;③.
(1)求, 的值;
(2)證明在上是減函數(shù);
(3)如果不等式成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中,且為常數(shù)).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)于任意的,都有成立,求的取值范圍;
(3)若方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行分析,決定從本班24名女同學(xué),18名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為7的樣本進(jìn)行分析.
(1)如果按照性別比例分層抽樣,可得到多少個(gè)不同的樣本?(寫(xiě)出算式即可,不必計(jì)算出結(jié)果)
(2)如果隨機(jī)抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué),物理成績(jī)(單位:分)對(duì)應(yīng)如下表:
若規(guī)定85分以上(包括85分)為優(yōu)秀,從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué),記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖.
(Ⅰ)試判斷該幾何體是什么幾何體?
(Ⅱ)畫(huà)出其側(cè)視圖,并求該平面圖形的面積;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn),并且內(nèi)切于定圓.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程;
(2)若上存在兩個(gè)點(diǎn),(1)中曲線上有兩個(gè)點(diǎn),并且三點(diǎn)共線, 三點(diǎn)共線, ,求四邊形的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地區(qū)以“綠色出行”為宗旨開(kāi)展“共享單車(chē)”業(yè)務(wù).該地有, 兩種“共享單車(chē)”(以下簡(jiǎn)稱型車(chē), 型車(chē)).某學(xué)習(xí)小組7名同學(xué)調(diào)查了該地區(qū)共享單車(chē)的使用情況.
(Ⅰ)某日該學(xué)習(xí)小組進(jìn)行一次市場(chǎng)體驗(yàn),其中4人租到型車(chē),3人租到型車(chē).如果從組內(nèi)隨機(jī)抽取2人,求抽取的2人中至少有一人在市場(chǎng)體驗(yàn)過(guò)程中租到型車(chē)的概率;
(Ⅱ)根據(jù)已公布的2016年該地區(qū)全年市場(chǎng)調(diào)查報(bào)告,小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)3月,4月的用戶租車(chē)情況城現(xiàn)如表使用規(guī)律.例如,第3個(gè)月租型車(chē)的用戶中,在第4個(gè)月有的用戶仍租型車(chē).
第3個(gè)月 第4個(gè)月 | 租用型車(chē) | 租用型車(chē) |
租用型車(chē) | ||
租用型車(chē) |
若認(rèn)為2017年該地區(qū)租用單車(chē)情況與2016年大致相同.已知2017年3月該地區(qū)租用,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: 的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,設(shè)離心率為e,且滿足,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),求△OMN面積的最大值.
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