【題目】橢圓與的中心在原點，焦點分別在軸與軸上，它們有相同的離心率，并且的短軸為的長軸，與的四個焦點構成的四邊形面積是.

(1)求橢圓與的方程；

(2)設是橢圓上非頂點的動點，與橢圓長軸兩個頂點，的連線，分別與橢圓交于，點.

(i)求證：直線，斜率之積為常數(shù)；

(ii)直線與直線的斜率之積是否為常數(shù)？若是，求出該值；若不是，說明理由.

【答案】(1)，.(2)(i) 見解析(ii).

【解析】試題分析：（1）橢圓離心率，又，所以，設，則根據(jù)題中條件可設，于是根據(jù)橢圓的對稱性可知，四個焦點構成的四邊形為菱形，面積，解得，可以得到橢圓，；（2）(i)本問考查圓錐曲線中的定點、定值問題，分析題意，設，而，，所以，，于是，又因為，代入上式易求；(ii)根據(jù)(i)問，可先證明為定值，再證明為定值，于是可以得到為定值，由于，，所以可以得為定值.

試題解析：(1)依題意，設，，由對稱性，四個焦點構成的四邊形為菱形，且面積，解得：.

所以橢圓，.

(2)(i)設，則，，.

，.

所以：.

直線，斜率之積為常數(shù).

(ii)設，則.

，，

所以：，同理：，

所以：，由，，結合(i)有

.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.

（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。

（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望EX.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖2，四邊形為矩形， ⊥平面， ,作如圖3折疊，折痕 ，其中點分別在線段上，沿折疊后點疊在線段上的點記為，并且⊥.（1）證明： ⊥平面;

（2）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】經(jīng)濟學中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)M（x）定義為M（x）=f（x+1）﹣f（x），利潤函數(shù)p（x）邊際利潤函數(shù)定義為M1（x）=p（x+1）﹣p（x），某公司最多生產(chǎn) 100 臺報系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺的收入函數(shù)為R（x）=3000x﹣20x2（單位：元），其成本函數(shù)為C（x）=500x+4000x（單位：元），利潤是收入與成本之差．
（1）求利潤函數(shù)p（x）及邊際利潤函數(shù)M1（x）；
（2）利潤函數(shù)p（x）與邊際利潤函數(shù)M1（x）是否具有相等的最大值？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的離心率為，且過點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點任作一條直線與橢圓相交于，兩點，試問在軸上是否存在定點，使得直線與直線關于軸對稱？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（ ）x ．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在所給坐標系中畫出函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，

(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當， 時，求證： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)y=f（x）在區(qū)間上[0，1]的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且恒有0≤f（x）≤1，可以用隨機模擬方法近似計算出曲線y=f（x）及直線x=0，x﹣1=0，y=0所圍成部分的面積S，先產(chǎn)生兩組（每組N個）區(qū)間[0，1]上的均勻隨機數(shù)X1 ， X2 ， X3 ， XN和y1 ， y2 ， y3 ， yN ， 由此得到N個點（xi ， yi）（i=1，2，3N，再數(shù)出其中滿足yi≤f（xi）（i=1，2，3，N）的點數(shù)N1 ， 那么由隨機方法可以得到S的近似值為 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學舉行了一次“環(huán)保只知識競賽”，全校學生參加了這次競賽.為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績（得分取正整數(shù)，滿分為 分）作為樣本進行統(tǒng)計.請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表（如圖所示），解決下列問題.

（1）求出的值；

（2）在選取的樣本中，從競賽成績是 分以上（含 分）的同學中隨機抽取 名同學到廣場參加環(huán)保只是的志愿宣傳活動.

1）求所抽取的 名同學中至少有 名同學來自第 組的概率；

2）求所抽取的 名同學來自同一組的概率.

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