Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx（a≠0，a，b為常數(shù)）滿足f（1﹣x）=f（1+x），且方程f（x）=2x有兩個相等實根；設(shè)g（x）= x3﹣x﹣f（x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求g（x）在[0，3]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：二次函數(shù)f（x）=ax2+bx（a≠0，a，b為常數(shù)）滿足f（1﹣x）=f（1+x），

故對稱軸x=﹣ =1①，

方程f（x）=2x有兩個相等實根，即ax2+（b﹣2）x=0有兩個相等實根，

故△=（b﹣2）2=0，解得：b=2，

將b=2代入①，解得：a=﹣1，

故f（x）=﹣x2+2x；

（2）解：g（x）= x3﹣x﹣f（x）= x3+x2﹣3x，

g′（x）=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1），

令g′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣3，

令g′（x）＜0，解得：﹣3＜x＜1，

∴g（x）在（﹣∞，﹣3）遞增，在（﹣3，1）遞減，在（1，+∞）遞增，

∴g（x）在[0，1）遞減，在（1，3]遞增，

∴g（x）最小值=g（1）=﹣ ，而g（0）=0，g（3）=9，故g（x）最大值=9

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的對稱軸得到﹣ =1，根據(jù)方程f（x）=2x有兩個相等實根，求出b的值，從而求出a的值，求出函數(shù)的表達(dá)式；（2）求出g（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握當(dāng)時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．