Question

【題目】已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，AA1⊥AC，M、N分別為棱AA1、CC1的中點．

（1）求證：直線MN⊥平面B1BD；
（2）已知AA1=AB，AA1⊥AB，取線段C1D1的中點Q，求二面角Q﹣MD﹣N的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，AA1⊥AC，

∵M、N分別為棱AA1、CC1的中點，

∴MN∥AC，

∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，

∴MN⊥BD，

∵BB1⊥AC，

∴MN⊥BB1，

∵BB1∩BD=B，

∴MN⊥平面BB1D

（2）

證明：∵AA1⊥AB，

∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，

以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，如圖建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)棱長為2，

則M（2，0，1），D（0，0，0），N（0，2，1），Q（0，1，2），

易求得面MDN的一個法向量為 ，

則面QMD的一個法向量為 ，

則 ，

所以二面角Q﹣MD﹣N的余弦值為

【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明．（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．