Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若恒成立，證明：當(dāng)時(shí)，．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．（I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得，對(duì)分類討論即可得出其單調(diào)性；（II）通過(guò)對(duì)分類討論，得到當(dāng)，滿足條件且（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”）．利用此結(jié)論即可證明．

試題解析: 解：（Ⅰ）求導(dǎo)得

若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增；

若a＞0，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

若a≤0，f（x）在（0，+∞）上遞增，又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立

若a＞2，當(dāng)x∈（，1）時(shí)，f（x）遞減，f（x）＞f（1）=0，不合題意

若0＜a＜2，當(dāng)x∈（1，）時(shí)，f（x）遞增，f（x）＞f（1）=0，不合題意

若a=2，f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，

f（x）≤f（1）=0，合題意

故a=2，且lnx≤x﹣1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”）．

當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，f（x2）﹣f（x1）=2ln﹣2（x2﹣x1）

＜2（﹣1）﹣2（x2﹣x1）=2（﹣1）（x2﹣x1），

∴．