【題目】已知定點M(1,0)和直線x=﹣1上的動點N(﹣1,t),線段MN的垂直平分線交直線y=t于點R,設(shè)點R的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)直線y=kx+b(k≠0)交x軸于點C,交曲線E于不同的兩點A,B,點B關(guān)于x軸的對稱點為點P.點C關(guān)于y軸的對稱點為Q,求證:A,P,Q三點共線.
【答案】
(1)解:由題意可知:RN=RM,即點R到直線x=﹣1和點M的距離相等.
根據(jù)拋物線的定義可知:R的軌跡為拋物線,其中M為焦點.
設(shè)R的軌跡方程為:y2=2px, ,p=2
所以R的軌跡方程為:y2=4x
(2)證明:由條件可知 ,則 .
聯(lián)立 ,消去y得k2x2+(2bk﹣4)x+b2=0,△=(2bk﹣4)2﹣4b2k2=16(1﹣bk)>0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),則P(x2,﹣y2)
, , .
因為 ,
所以kAP=kAQ,
所以A,P,Q三點共線.
【解析】(1)由題意可知:RN=RM,即點R到直線x=﹣1和點M的距離相等,利用拋物線的定義求曲線E的方程;(2)聯(lián)立 ,消去y,證明kAP=kAQ , 可得A,P,Q三點共線.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為, 傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點且與圓相切.
(1)求橢圓 的方程;
(2)若直線與圓相切于點, 且交橢圓于兩點,射線于橢圓交于點,設(shè)的面積與的面積分別為.
①求的最大值; ②當(dāng)取得最大值時,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(分)如圖,在三棱錐中,底面為等邊三角形,,,為的中點.
(Ⅰ)求證:.
(Ⅱ)判斷在線段上是否存在點(與點不重合),使得為直角三角形?若存在,試找出一個點,并求的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}中, ,若利用下面程序框圖計算該數(shù)列的第2016項,則判斷框內(nèi)的條件是( )
A.n≤2014
B.n≤2016
C.n≤2015
D.n≤2017
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,E是AB的中點,AB=AD=PA=PB=2,BC=1,PC= .
(1)求證:CF∥平面PAB;
(2)求證:PE⊥平面ABCD;
(3)求二面角B﹣PA﹣C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:
該興趣小組確定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用1月和6月的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(1)請根據(jù)2、3、4、5月的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人,則認為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想?
(參考公式: ,)
參考數(shù)據(jù):11×25+13×29+12×26+8×16=1092,112+132+122+82=498.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在空間中,設(shè)m,n為兩條不同直線,α,β為兩個不同平面,則下列命題正確的是( )
A. 若m∥α且α∥β,則m∥β
B. 若α⊥β,mα,nβ,則m⊥n
C. 若m⊥α且α∥β,則m⊥β
D. 若m不垂直于α,且nα,則m必不垂直于n
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