Question

（2013•綿陽二模）已知關于x的一元二次方程x²-2x+b-a+3=0，其中a、b為常數，點（a，b）是區(qū)域Ω：

0≤a≤4 0≤b≤4

內的隨機點．設該方程的兩個實數根分別為x₁、x₂則x₁、x₂滿足0≤x₁≤1≤x₂的概率是（　　）

• A．

  3

  32

• B．

  3

  16

• C．

  5

  32

• D．

  9

  16

Answer 1

分析：把f（x）=0的兩個根滿足的條件轉化為函數f（x）的兩個零點滿足的條件，分別畫出點（a，b）滿足的區(qū)域Ω及在區(qū)域Ω內滿足條件0≤x₁≤1≤x₂的點（a，b）的區(qū)域，再利用幾何概型的概率計算公式即可得出．

解答：解：令f（x）=x²-2x+b-a+3，
由方程f（x）=0的兩個實數根分別為x₁、x₂且x₁、x₂滿足0≤x₁≤1≤x₂，?函數f（x）分別在區(qū)間（0，1]、[1，+∞）各有一個零點．
∴

f(0)＞0 f(1)≤0

，化為

b-a+3＞0 b-a+2≤0

．
分別畫出點（a，b）滿足的區(qū)域Ω：

0≤a≤4 0≤b≤4

、在區(qū)域Ω內滿足條件0≤x₁≤1≤x₂的點（a，b）的區(qū)域

b-a+3＞0 b-a+2≤0

．
區(qū)域Ω的面積=4×4=16，梯形EFMN的面積=S_△AMN-S_△AEF=

1

2

×2×2-

1

2

×1×1=

3

2

，
∴方程f（x）=0的兩個實數根分別為x₁、x₂且x₁、x₂滿足0≤x₁≤1≤x₂的事件的概率P=

3 2

16

=

3

32

．
故選A．

點評：把問題正確等價轉化和熟練掌握幾何概型的概率計算方法是解題的關鍵．