（2013•綿陽二模）我們把離心率之差的絕對值小于
1
2
的兩條雙曲線稱為“相近雙曲線”．已知雙曲線
x2
4
-
y2
12
=1與雙曲線
x2
m
-
y2
n
=1是“相近雙曲線”，則
n
m
的取值范圍是
[
4
21
，
4
5
]∪[
5
4
，
21
4
]
[
4
21
，
4
5
]∪[
5
4
，
21
4
]
．
分析：根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)求得雙曲線的離心率，再由“相近雙曲線”，得到關(guān)于
n
m
的不等式，解不等式求出離心率的范圍．
解答：解：雙曲線
x2
4
-
y2
12
=1的離心率為e1=2，
①當(dāng)m＞0，n＞0時，雙曲線
x2
m
-
y2
n
=1的離心率為e2=
m+n
m
=
1+
n
m
，
由題意得|
1+
n
m
-2|＜
1
2
，解得
5
4
＜
n
m
＜
21
4
；
②當(dāng)m＜0，n＜0時，雙曲線
x2
m
-
y2
n
=1即：-
x2
-m
+
y2
-n
=1的離心率為e2=
-m-n
-n
=
1+
m
n
，
由題意得|
1+
m
n
-2|＜
1
2
，解得
4
21
＜
n
m
＜
4
5
；
故答案為：[
4
21
，
4
5
]∪[
5
4
，
21
4
]．
點評：本題考查雙曲線線標(biāo)準(zhǔn)方程以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，得到關(guān)于
n
m
的不等式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
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3
，且
AB
•
BC
=6，
AB
與
BC
的夾角為θ．
（Ⅰ）求θ的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的最大值．

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13
x3-2x2+3x（x∈R）的圖象為曲線C．
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（2）若曲線C上存在兩點處的切線互相垂直，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標(biāo)取值范圍；
（3）試問：是否存在一條直線與曲線C同時切于兩個不同點？如果存在，求出符合條件的所有直線方程；若不存在，說明理由．

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