設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=2，對任意的n∈N*，向量
a
=(-1，an)，
b
=(an+1，q)（q是常數(shù)，q＞0）都滿足
a
⊥
b
，求
lim
n→∞
Sn
Sn+1
．
分析：由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個向量垂直的性質(zhì)求得
an+1
an
=q，再分q=1和q≠1兩種情況，分別求得
lim
n→∞
Sn
Sn+1
的值．
解答：解：∵
a
⊥
b
，∴
a
•
b
=-an+1+anq=0，即
an+1
an
=q，故數(shù)列{an}是以2為首項、以q為公比的等比數(shù)列．
當(dāng)q=1時，
lim
n→∞
Sn
Sn+1
=
lim
n→∞
na1
(n+1)a1
=1；
當(dāng)q≠1時，
lim
n→∞
Sn
Sn+1
=
lim
n→∞
1-qn
1-qn+1
=
1，0＜q＜1
1
q
，q＞1
．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個向量垂直的性質(zhì)，等比關(guān)系的確定，求數(shù)列的極限，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，且Sn=3n+1．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn=an（2n-1），求數(shù)列{bn}的前n項的和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列an的前n項的和為Sn，a1=
3
2
，Sn=2an+1-3．
（1）求a2，a3；
（2）求數(shù)列an的通項公式；
（3）設(shè)bn=(2log
3
2
an+1)•an，求數(shù)列bn的前n項的和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an+
3
2
×（-1）n-
1
2
，n∈N*．
（Ⅰ）求an和an-1的關(guān)系式；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅲ）證明：
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜
10
9
，n∈N*．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域為Dn，若Dn內(nèi)的整點（整點即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）個數(shù)為an（n∈N*）
（1）寫出an+1與an的關(guān)系（只需給出結(jié)果，不需要過程），
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn且Tn=
Sn
5•2n
，若對一切的正整數(shù)n，總有Tn≤m成立，求m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•鄭州一模）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-1，則
S4
a3
的值為（　�。�

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