已知函數(shù)f(x)=lnx
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)圖象上任意一點處的切線的傾斜角均不小于,求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)m=2,若存在x∈[1,2],不等式|a+3x|-xf′(x)<0成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(III)已知k∈R,討論關(guān)于x的方程f(x)+mx=在區(qū)間[2,4]上的實根個數(shù)(e≈2.71828)
【答案】分析:(I)先求導函數(shù),然后將函數(shù)f(x)圖象上任意一點處的切線的傾斜角均不小于轉(zhuǎn)化成f′(x)≥tan=在(0,+∞)上恒成立,利用參數(shù)分離法可求出m的取值范圍;
(II)根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)化簡不等式,然后利用參數(shù)分離法將a分離,最后利用存在性問題的常用方法進行求解即可;
(III)將k分離,然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的最值,利用數(shù)形結(jié)合法可求出根的個數(shù).
解答:解:(I)∵f(x)=lnx(x>0)
∴f′(x)=+3x-m
∵函數(shù)f(x)圖象上任意一點處的切線的傾斜角均不小于,
∴f′(x)=+3x-m≥tan=在(0,+∞)上恒成立
即m≤+3x-在(0,+∞)上恒成立,而+3x-在(0,+∞)上的最小值為
∴m≤
(II)當m=2時,f′(x)=+3x-2
不等式|a+3x|-xf′(x)<0即為不等式|a+3x|-x+3x-2)<0
化簡得不等式|a+3x|<3x2-2x+1
即-3x2+2x-1<a+3x<3x2-2x+1
∴存在x∈[1,2],使得不等式-3x2-x-1<a<3x2-5x+1成立
即(-3x2-x-1)min<a<(3x2-5x+1)max
即-15<a<3
(III)∵f(x)+mx=
∴l(xiāng)nx+=
即k=lnx+x2-x
令g(x)=lnx+x2-x(x∈[2,4])
則g′(x)=+x-==
當x∈[2,3)時,g′(x)<0,當x∈(3,4]時,g′(x)>0
∴函數(shù)g(x)在[2,3)上單調(diào)遞減,在(3,4)上單調(diào)遞增
則當x=3時函數(shù)g(x)取最小值g(3)=ln3-,而g(2)=ln2-2,g(4)=ln4-
∴當k<ln3-或k>ln4-時方程f(x)+mx=在區(qū)間[2,4]上的實根個數(shù)為0
當k=ln3-或ln2-2<k<ln4-時方程f(x)+mx=在區(qū)間[2,4]上的實根個數(shù)為1
當ln3-<k≤ln2-2時方程f(x)+mx=在區(qū)間[2,4]上的實根個數(shù)為2
點評:本題主要考查了導數(shù)的幾何意義,以及參數(shù)分離法研究恒成立和存在性問題,同時考查了運算求解的能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當a=1時,若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點,求k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當x0=
x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當x≥e時,對于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn,則S2012的值為(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點;
(Ⅱ)若直線l過點(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當x>0時,函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案