【題目】如圖，在四棱錐中，已知四邊形是邊長為的正方形，點是的中點，點在底面上的射影為點，點在棱上，且四棱錐的體積為.

（1）若點是的中點，求證:平面平面；

（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）求證見解析（2）

【解析】

（1）是棱錐的高，由體積計算出高后計算出側(cè)棱長，得側(cè)面是等邊三角形，可證平面，再得面面垂直；

（2）分別以為軸的正方向建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面的法向量，直線的方向向量，由向量法來求空間角．

（1）依題意，平面，又是邊長為的正方形，且四棱錐的體積為，

所以，所以，，

又，點是的中點，所以，同理，，又，

所以平面，又平面，所以平面平面.

（2）連接，易得，，互相垂直，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，

因為為棱上一點，設，所，

設平面的法向量，則由得令，則，所以，又平面的法向量為，

所以，解得，所以，

又，所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市環(huán)保部門對市中心每天的環(huán)境污染情況進行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)與時刻（時）的關系為，，其中是與氣象有關的參數(shù)，且．若用每天的最大值為當天的綜合污染指數(shù)，并記作．

（1）令，，求的取值范圍；

（2）求的表達式，并規(guī)定當時為綜合污染指數(shù)不超標，求當在什么范圍內(nèi)時，該市市中心的綜合污染指數(shù)不超標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，設拋物線與的公共點的橫坐標為，過且與相切的直線交于另一點，過且與相切的直線交于另一點，記為的面積.

（Ⅰ）求的值（用表示）；

（Ⅱ）若，求的取值范圍.

注：若直線與拋物線有且只有一個公共點，且與拋物線的對稱軸不平行也不重合，則稱該直線與拋物線相切.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，離心率為，是橢圓上的一個動點，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線斜率為，且與橢圓的另一個交點為，是否存在點，使得若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，是邊長為2的菱形，且，是矩形，，且平面平面，點在線段上移動（不與重合），是的中點.

（1）當四面體的外接球的表面積為時，證明：.平面

（2）當四面體的體積最大時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線半徑為的圓與直線相切,圓心在軸上且在直線的上方.

（1）求圓的方程;

（2）設過點 的直線被圓截得弦長等于,求直線的方程;

（3）過點的直線與圓交于兩點（在軸上方）,問在軸正半軸上是否存在點,使得軸平分?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】北方的冬天戶外冰天雪地，若水管裸露在外，則管內(nèi)的水就會結(jié)冰從而凍裂水管，給用戶生活帶來不便．每年冬天來臨前，工作人員就會給裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保溫帶，用一條保溫帶盤旋而上一次包裹到位．某工作人員采用四層包裹法（除水管兩端外包裹水管的保溫帶都是四層）：如圖1所示是相鄰四層保溫帶的下邊緣輪廓線，相鄰兩條輪廓線的間距是帶寬的四分之一．設水管的直徑與保溫帶的寬度都為4cm．在圖2水管的側(cè)面展開圖中，此保溫帶的輪廓線與水管母線所成的角的余弦值是（ ）（保溫帶厚度忽略不計）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知多面體中，為矩形，平面，，且，，，點為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】冠狀病毒是一個大型病毒家族，己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴重急性呼吸綜合征（）等較嚴重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中，感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.

某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：

方式一：逐份檢驗，則需要檢驗n次.

方式二：混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.

若檢驗結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為.

假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.

（1）若，試求p關于k的函數(shù)關系式；

（2）若p與干擾素計量相關，其中（）是不同的正實數(shù)，

滿足且（）都有成立.

（i）求證：數(shù)列等比數(shù)列；

（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期望值更少，求k的最大值

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