【題目】已知函數(shù).

若在其定義域上單調(diào)遞減，求的取值范圍；

若存在兩個(gè)不同極值點(diǎn)與，且，求證.

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由在其定義域上單調(diào)遞減，得到恒成立，即恒成立，用導(dǎo)數(shù)的方法求出的最小值即可；

（2）若存在兩個(gè)不同極值點(diǎn)與，且，欲證：，只需證：，即證，再根據(jù)，得到，，再令，得到，設(shè)，由導(dǎo)數(shù)方法研究其單調(diào)性即可得出結(jié)論.

解：（1）由于的定義域?yàn)?/span>，且，若在其定義域上單調(diào)遞減，則恒成立，即恒成立.

令，

則隨著的變化，與的變化如下表所示

-

0

+

↘

極小值

↗

所以.

所以

（2）若存在兩個(gè)不同極值點(diǎn)與，且，

欲證：.

只需證：.

只需證：.

只需證：.

因?yàn)?/span>，，，，

所以，

所以

令，則，則，

設(shè)，則，

可知函數(shù)在上單調(diào)遞增

所以 .

所以成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某機(jī)構(gòu)對(duì)A市居民手機(jī)內(nèi)安裝的“APP”(英文Application的縮寫(xiě)，一般指手機(jī)軟件)的個(gè)數(shù)和用途進(jìn)行調(diào)研，在使用智能手機(jī)的居民中隨機(jī)抽取了100人，獲得了他們手機(jī)內(nèi)安裝APP的個(gè)數(shù)，整理得到如圖所示頻率分布直方圖：

（Ⅰ）從A市隨機(jī)抽取一名使用智能手機(jī)的居民，試估計(jì)該居民手機(jī)內(nèi)安裝APP的個(gè)數(shù)不低于30的概率；

（Ⅱ）從A市隨機(jī)抽取3名使用智能手機(jī)的居民進(jìn)一步做調(diào)研，用X表示這3人中手機(jī)內(nèi)安裝APP的個(gè)數(shù)在[20,40)的人數(shù)．

①求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

②用Y1表示這3人中安裝APP個(gè)數(shù)低于20的人數(shù)，用Y2表示這3人中手機(jī)內(nèi)安裝APP的個(gè)數(shù)不低于40的人數(shù)．試比較EY1和EY2的大小．(只需寫(xiě)出結(jié)論)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】六棱錐中，底面是正六邊形，底面，給出下列四個(gè)命題：

①線(xiàn)段的長(zhǎng)是點(diǎn)到線(xiàn)段的距離；

②異面直線(xiàn)與所成角是；

③線(xiàn)段的長(zhǎng)是直線(xiàn)與平面的距離；

④是二面角平面角.

其中所有真命題的序號(hào)是_______________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的動(dòng)直線(xiàn)l交于M、N兩點(diǎn).

（1）若l垂直于x軸，且線(xiàn)段MN的長(zhǎng)為1，求的方程；

（2）若，求線(xiàn)段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程；

（3）求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，馬路南邊有一小池塘，池塘岸長(zhǎng)40米，池塘的最遠(yuǎn)端到的距離為400米，且池塘的邊界為拋物線(xiàn)型，現(xiàn)要在池塘的周邊建一個(gè)等腰梯形的環(huán)池塘小路，且均與小池塘岸線(xiàn)相切，記.

（1）求小路的總長(zhǎng)，用表示；

（2）若在小路與小池塘之間（圖中陰影區(qū)域）鋪上草坪，求所需鋪草坪面積最小時(shí)，的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）過(guò)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)作與夾角為45°的直線(xiàn)，交于點(diǎn)，求的最大值與最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，的面積為，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與橢園交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓（常數(shù)），P是曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，M是曲線(xiàn)C的右頂點(diǎn)，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

（1）若M與A重合，求曲線(xiàn)C的焦距.

（2）若，求的最大值與最小值.

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