過單位圓x2+y2=1是位于第一象限的任意一點(diǎn)作圓的切線，則該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的最小值是
 
．
分析：設(shè)出切點(diǎn)得到切線方程，分別求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，表示出切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積，然后利用基本不等式求出面積的最小值即可．
解答：解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），因?yàn)榍芯�方程的斜率與過切點(diǎn)的半徑所在的直線垂直，過切點(diǎn)的半徑所在的直線的斜率為
y0
x0
，則切線方程的斜率為-
x0
y0
，所以切線方程為y-y0=-
x0
y0
（x-x0），因?yàn)榍悬c(diǎn)在圓上所以x02+y02=1，化簡得切線方程為x0x+y0y=1，
該切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是(
1
x0
，0)，(0，
1
y0
)，
故切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是
1
2x0y0  
，又x02+y02=1，
故
1
2x0y0
≥
1
x
 2
0
+
y
 2
0
=1，即切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的最小值是1．
故答案為1．
點(diǎn)評：此題是一道中檔題，要求會求曲線上過某點(diǎn)的切線方程，會利用基本不等式求函數(shù)的最值．出現(xiàn)問題最多的是許多學(xué)生寫不出切線方程，不會求字母已知數(shù)的方程，應(yīng)多加訓(xùn)練此類題形．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，左焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，△FMN面積的最大值為1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)P，A，B是橢圓E上異于頂點(diǎn)的三點(diǎn)，Q（m，n）是單位圓x2+y2=1上任一點(diǎn)，使
OP
=m
OA
+n
OB
．
①求證：直線OA與OB的斜率之積為定值；
②求OA2+OB2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知點(diǎn)A（5，0），點(diǎn)B在直線y=6上運(yùn)動，點(diǎn)C單位圓x2+y2=1運(yùn)動，求AB+BC的最小值及對應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)P在直線y=6上運(yùn)動，過點(diǎn)P作單位圓x2+y2=1的兩切線，設(shè)兩切點(diǎn)為Q和R，求證：直線QR恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

過單位圓x2+y2=1是位于第一象限的任意一點(diǎn)作圓的切線，則該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的最小值是 ________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年江蘇省南通市海安縣高考數(shù)學(xué)回歸課本專項(xiàng)檢測（六）（解析版） 題型：解答題

過單位圓x2+y2=1是位于第一象限的任意一點(diǎn)作圓的切線，則該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的最小值是     ．

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