(1)已知點A(5,0),點B在直線y=6上運動,點C單位圓x2+y2=1運動,求AB+BC的最小值及對應點B的坐標.
(2)點P在直線y=6上運動,過點P作單位圓x2+y2=1的兩切線,設兩切點為Q和R,求證:直線QR恒過定點,并求出定點坐標.
分析:(1)如圖所示,作出點A(5,0)關于直線y=6的對稱點A′(5,12),則AB=A′B.可得AB+BC=A′B+BC,連接OA交直線y=6于點B,交⊙O于點C.則AB+BC的最小值=OA-r.
(2)利用圓的切線的性質(zhì)可得:兩個切點Q,R在以OP為的圓上,與x2+y2=1即可得到過兩個圓的交點Q,R的直線方程,再利用直線系的性質(zhì)即可得出直線所過的定點.
解答:解:(1)如圖所示,作出點A(5,0)關于直線y=6的對稱點A′(5,12),則AB=A′B.
∴AB+BC=A′B+BC,
連接OA交直線y=6于點B,交⊙O于點C.
則AB+BC的最小值=OA-r=
52+122
-1
=12.
此時直線OA:y=
12
5
x,
令y=6,解得x=
5
2

B(
5
2
,6)
,.
∴AB+BC的最小值為12,對應點B的坐標為(
5
2
,6)

(2)設P(s,6),則OP的中點為M(
s
2
,3)

∴以點M為圓心,OM為半徑的圓的方程為:(x-
s
2
)2+(y-3)2=
s2
4
+9
,
化為x2-sx+y2-6y=0,
聯(lián)立
x2+y2=1
x2-sx+y2-6y=0
,
化為sx+6y-1=0即為過兩個圓的交點Q,R的直線方程..
聯(lián)立
x=0
y-
1
6
=0

解得
x=0
y=
1
6

∴直線QR恒過定點(0,
1
6
)
點評:本題綜合考查了圓的標準方程及其性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓的根軸的求法,屬于難題.
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