(2013•營(yíng)口二模)(幾何證明選講選做題)如圖所示,圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點(diǎn),BC=3.過C作圓的切線l,過A作l的垂線AD,AD分別與直線l、圓交于點(diǎn)D,E,則∠DAC=
30°
30°
,線段AE的長(zhǎng)為
3
3
分析:利用直徑所對(duì)的圓周角是直角、弦切角定理、切割線定理、含有30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可得出.
解答:解:①∵∠ACB是直徑AB所對(duì)的圓周角,∴∠ACB=90°;
∵AB=6,BC=3,∴cos∠ABC=
BC
AB
=
1
2
,
∵∠ABC是銳角,∴∠ABC=60°.
由弦切角定理可得∠ACD=∠ABC=60°,
∵在Rt△ACD中,∴∠DAC=30°.
在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=
62-32
=3
3

在Rt△ACD中,DC=ACcos60°=
3
3
2
,由勾股定理得AD=
(3
3
)2-(
3
3
2
)2
=
9
2
,
由切割線定理得DC2=DE•DA,
DE=
(
3
3
2
)2
9
2
=
3
2
,∴AE=AD-DE=
9
2
-
3
2
=3.
故答案為30°,3.
點(diǎn)評(píng):熟練掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角、弦切角定理、切割線定理、含有30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵.
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