Question

將數(shù)字1，2，3，4任意排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個位置上，則稱之為一個巧合，求巧合數(shù)的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：由題意知巧合數(shù)ξ的可能取值是0、1、2、3、4，當(dāng)ξ=0時表示沒有巧合數(shù)，試驗包含的所有事件是四個數(shù)在四個位置排列，而滿足條件的事件是沒有巧合數(shù)，共有3×3種結(jié)果，類似的可以做出其他的概率，得到期望．

解答：解：設(shè)ξ為巧合數(shù)，則ξ的可能取值是0、1、2、3、4，
當(dāng)ξ=0時表示沒有巧合數(shù)，試驗包含的所有事件是四個數(shù)在四個位置排列，共有A₄⁴種結(jié)果，
而滿足條件的事件是沒有巧合數(shù)，共有3×3種結(jié)果，類似的可以做出其他的概率，
則P（ξ=0）=

9

A 4 4

=

9

24

，
P（ξ=1）=

C 1 4 ×2

A 4 4

=

1

3

，
P（ξ=2）=

C 2 4

A 4 4

=

1

4

，
P（ξ=3）=0，
P（ξ=4）=

C 4 4

A 4 4

=

1

24

，
∴Eξ=0×

9

24

+1×

1

3

+2×

1

4

+3×0+4×

1

24

=1．
∴巧合數(shù)的期望為1．

點評：讓學(xué)生進一步理解期望是反映隨機變量在隨機試驗中取值的平均值，它是概率意義下的平均值，不同于相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)．區(qū)別隨即機變量的期望與相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)．