【題目】我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算體積的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異。”意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.已知曲線，直線為曲線在點(diǎn)處的切線.如圖所示，陰影部分為曲線、直線以及軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為.給出以下四個(gè)幾何體：

① ② ③ ④

圖①是底面直徑和高均為的圓錐；

圖②是將底面直徑和高均為的圓柱挖掉一個(gè)與圓柱同底等高的倒置圓錐得到的幾何體；

圖③是底面邊長和高均為的正四棱錐；

圖④是將上底面直徑為，下底面直徑為，高為的圓臺(tái)挖掉一個(gè)底面直徑為，高為的倒置圓錐得到的幾何體.

根據(jù)祖暅原理，以上四個(gè)幾何體中與的體積相等的是（ ）

A. ①B. ②C. ③D. ④

【答案】A

【解析】

將題目中的切線寫出來，然后表示出水平截面的面積，因?yàn)槭顷幱安糠中D(zhuǎn)得到，所以水平界面面積為環(huán)形面積，整理后，與其他四個(gè)幾何體進(jìn)行比較，找到等高處的水平截面的面積相等的，即為所求.

幾何體是由陰影旋轉(zhuǎn)得到，所以橫截面為環(huán)形，

且等高的時(shí)候，拋物線對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，切線對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為

，

切線為，即，

橫截面面積

圖①中的圓錐高為1，底面半徑為，可以看成由直線繞軸旋轉(zhuǎn)得到

橫截面的面積為.

所以幾何體和①中的圓錐在所有等高處的水平截面的面積相等，所以二者體積相等，

故選A項(xiàng).

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【題目】設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足x2-2ax-3a2＜0（a＞0），命題q：實(shí)數(shù)x滿足≥0．

（Ⅰ）若a=1，p，q都為真命題，求x的取值范圍；

（Ⅱ）若q是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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A. B. C. D.

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【題目】已知橢圓方程為，和分別是橢圓的左右焦點(diǎn).

①若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，延長到M，使，則M的軌跡是圓；

②若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則；

③以焦點(diǎn)半徑為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切；

④點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積為

以上說法中，正確的有（ ）

A.①③④B.①③C.②③④D.③④

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【題目】雙曲線的一條漸近線方程是，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線AB的距離為，其中，.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若是雙曲線虛軸在y軸正半軸上的端點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線交雙曲線于點(diǎn)M，N，求時(shí)，直線MN的方程.

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（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，試判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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【題目】已知橢圓：的離心率為，且與拋物線交于，兩點(diǎn)， （為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（非長軸端點(diǎn)），為左、右焦點(diǎn)，的延長線與橢圓交于點(diǎn)，的延長線與橢圓交于點(diǎn)，求面積的最大值．

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（1）求橢圓的方程；

（2）若是上頂點(diǎn)，直線l交橢圓于，兩點(diǎn)，的重心恰好為點(diǎn)，求直線l的方程的一般式.

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