過點(diǎn)（m，0）作圓x2+y2=1的切線交橢圓x2+4y2=4于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值是（　�。�
分析：設(shè)出直線AB所在的直線方程，由圓心到直線的距離等于圓的半徑得到m和直線的斜率的關(guān)系式，再把直線方程和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，代入弦長公式后轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)字母的函數(shù)關(guān)系，然后利用基本不等式求最值．
解答：解：設(shè)直線AB的方程為y=k（x-m），
由直線AB與圓x2+y2=1相切可知，圓心到直線的距離d=
|km|
k2+1
=1，
化簡得k2m2=k2+1．
將直線方程y=k（x-m）代入橢圓方程x2+4y2=4消y，得
（4k2+1）x2-8k2mx+4k2m2-4=0
設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=
8k2m
4k2+1
，x1x2=
4k2m2-4
4k2+1

|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2

=
1+k2
(
8k2m
4k2+1
)2-4•
4k2m2-4
4k2+1

=
4
3
|m|
m2+3
=
4
3
|m|+3|m|
≤
4
3
2
3
=2
當(dāng)且僅當(dāng)|m|=
3
|m|
，即|m|=√3，m=±√3時(shí)，取等號(hào)
當(dāng)直線AB與X軸垂直，切點(diǎn)為（±1，0），將x=±1代入橢圓方程求得y=±√3/2
∴此時(shí)|AB|=√3＜2
綜上，m=±√3，有|AB|最大值2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了分類討論得數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了弦長公式的應(yīng)用，考查了利用基本不等式求最值，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，是有一定難度題目．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C過點(diǎn)P（1，1），且與圓M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）關(guān)于x+y+2=0對(duì)稱．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)（
2
，2）作圓C的切線，求切線的方程；
（Ⅲ）過點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C相交A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線PA和直線PB的斜率分別為k，-k，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和直線AB是否平行？請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓M：(x+
5
)2+y2=36，定點(diǎn)N（
5
，0），點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足
NP
=2
NQ
，
GQ
•
NP
=0．
（1）求點(diǎn)G的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)（2，0）作斜率為k的直線l，與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在這樣的直線l，使得
OA
•
OB
≤-1？若存在，求出直線l的斜率k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在周長為定值的△ABC中，已知|AB|=2
3
，動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線G，且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，cosC有最小值-
1
2
．
（1）以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，求曲線G的方程．
（2）過點(diǎn)（m，0）作圓x2+y2=1的切線l交曲線G于M，N兩點(diǎn)．將線段MN的長|MN|表示為m的函數(shù)
 
，并求|MN|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在周長為定值的△ABC中，已知數(shù)學(xué)公式，動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線G，且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，cosC有最小值數(shù)學(xué)公式．
（1）以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，求曲線G的方程．
（2）過點(diǎn)（m，0）作圓x2+y2=1的切線l交曲線G于M，N兩點(diǎn)．將線段MN的長|MN|表示為m的函數(shù)________，并求|MN|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：廣東省月考題 題型：解答題

在周長為定值的△ABC中，已知，動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線G，且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，cosC有最小值。
（1）以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，求曲線G的方程；
（2）過點(diǎn)（m，0）作圓x2+y2=1的切線l交曲線G于M，N兩點(diǎn)，將線段MN的長|MN|表示為m的函數(shù)，并求|MN|的最大值。

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