Question

在周長為定值的△ABC中，已知，動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線G，且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，cosC有最小值。
（1）以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，求曲線G的方程；
（2）過點(diǎn)（m，0）作圓x²+y²=1的切線l交曲線G于M，N兩點(diǎn)，將線段MN的長|MN|表示為m的函數(shù)，并求|MN|的最大值。

Answer 1

解：（1）設(shè)（）為定值，
所以C點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，所以焦距，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120330/201203301631060952968.gif">
又，
所以，由題意得，
所以C點(diǎn)軌跡G的方程為；
（2）由題意知，|m|≥1；
當(dāng)m=1時(shí)，切線l的方程為x=1，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，
此時(shí)|MN|=；
當(dāng)m=-1時(shí)，同理可知|MN|=，
當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)切線l的方程為y=k（x-m），
由得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0，
設(shè)M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=，x₁x₂=，
又由l與圓x²+y²=1相切，得=1，即m²k²=k²+1，
所以
=
由于當(dāng)m=±1時(shí)，|MN|=，所以|MN|=，m∈（-∞，-1 ]∪[1，+∞），
因?yàn)閨MN|=≤2，且當(dāng)m=±時(shí)，|MN|=2，
所以|MN|的最大值為2。