Question

【題目】已知函數f（x）= ，x∈[2，4]．
（1）判斷f（x）的單調性，并利用單調性的定義證明：
（2）求f（x）在[2，4]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）在區(qū)間[2，4]上單調遞增．

任取x1，x2∈[2，4]，且x1＜x2，

則 ，

∵2≤x1＜x2≤4，∴x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴由單調性的定義知，函數f（x）區(qū)間[2，4]上單調遞增

（2）解：由（1）知，函數f（x）區(qū)間[2，4]上單調遞增，

∴[f（x）]min=f（2），[f（x）]max=f（4），

∵ ， ，

∴ ，

【解析】（1）任取x1 ， x2∈[2，4]，且x1＜x2 ， 利用作差可比較f（x1）與f（x2）的大小，根據函數單調性的定義可作出判斷；（2）由（1）可知函數f（x）區(qū)間[2，4]上單調遞增，由單調性即可求得函數的最值；
【考點精析】掌握函數的值域和函數單調性的判斷方法是解答本題的根本，需要知道求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最�。ù螅�數，這個數就是函數的最�。ù螅┲担�因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較．