【題目】已知,且,函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù):

(1)如果函數(shù)為偶函數(shù),求實數(shù)的值,并求此時函數(shù)的最小值;

(2)對滿足,且的任意實數(shù),證明函數(shù)的圖像經過唯一的定點;

(3)如果關于的方程有且只有一個解,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1) 的最小值為2(2)見解析(3),或

【解析】試題分析:(1)由函數(shù)為偶函數(shù)可得,從而求出,需代入檢驗,結合基本不等式即可求出此時函數(shù)的最小值;(2)假設過定點,則對任意,且恒成立,可分別令,從而得出定點;(3)令,且,則方程存在一個解,分別討論時函數(shù)的單調性,即可得出實數(shù)的取值范圍.

試題解析:(1)由得: ,解得(舍),或,

經檢驗為偶函數(shù)

.

,當且僅當時取等號,

的最小值為2.

(2)假設過定點,則對任意,且恒成立.

得: ;令得: ,

,解得唯一解

經檢驗當時,

∴函數(shù)的圖像經過唯一定點.

(3)令上連續(xù)函數(shù),且,則方程存在一個解.

時, 為增函數(shù),此時只有一解.

時,令 ,解得.

因為, , ,令 , 為增函數(shù).

所以當時, ,所以, 為減函數(shù);

時, ,所以, 為增函數(shù).

所以,又定義域為,所以.

①若 上為減函數(shù), ,而.

所以時, 至少存在另外一個零點,矛盾!

②若, 上為增函數(shù), ,而,所以存在另外一個解,矛盾!

③當,則,解得,此時方程為

由(1)得,只有唯一解,滿足條件

綜上,當,或時,方程有且只有一個解.

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