Question

（2013•濟(jì)南二模）已知點(diǎn)F₁(-

3

，0)和F₂(

3

，0)是橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓M經(jīng)過點(diǎn)(

3

，

1

2

)．
（1）求橢圓M的方程；
（2）過點(diǎn)P（0，2）的直線l和橢圓M交于A、B兩點(diǎn)，且

PB

=

3

5

PA

，求直線l的方程；
（3）過點(diǎn)P（0，2）的直線和橢圓M交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C，求證：直線CB必過y軸上的定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用b²=a²-c²及點(diǎn)(

3

，

1

2

)滿足橢圓的方程即可得出．
（2）設(shè)出直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及向量相等即可求出；
（3）設(shè)過點(diǎn)P（0，2）的直線AB方程為：y=kx+2，與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其對(duì)稱性得出直線BC的方程即可．

解答：解：（1）由條件得：c=

3

，設(shè)橢圓的方程

x2

a2

+

y2

a2-3

=1，
把(

3

，

1

2

)代入得

3

a2

+

1

4(a2-3)

=1，解得a²=4，
所以橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）斜率不存在時(shí)，

PB

=

1

3

PA

不適合條件；
設(shè)直線l的方程y=kx+2，點(diǎn)B（x₁，y₁），點(diǎn)A（x₂，y₂），
代入橢圓M的方程并整理得：（1+4k²）x²+16kx+12=0．△=（16k）²-48（1+4k²）=16（4k²-3）＞0，得k2＞

3

4

．
且x1+x2=-

16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

．
因?yàn)?span id="r2dklkp" class="MathJye">

PB

=

3

5

PA

，即(x1，y1-2)=

3

5

(x2，y2-2)，所以x1=

3

5

x2．
代入上式得x2=-

10k

4k2+1

，x22=

20

4k2+1

，解得k=±1，
所以所求直線l的方程：y=±x+2．
（3）設(shè)過點(diǎn)P（0，2）的直線AB方程為：y=kx+2，點(diǎn)B（x₁，y₁），點(diǎn) A（x₂，y₂），C（-x₂，y₂）．
把直線AB方程代入橢圓M：

x2

4

+y2=1，并整理得：（1+4k²）x²+16kx+12=0，
△=（16k）²-48（1+4k²）=16（4k²-3）＞0，得k2＞

3

4

．
且x1+x2=-

16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

．
設(shè)直線CB的方程為：y-y2=

y2-y1

-x2-x1

(x+x2)，
令x=0得：y=y2-

y2x2-x2y1

x1+x2

=

x2y1+x1y2

x1+x2

=

2kx1x2

x1+x2

+2．
把x1+x2=-

16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

代入上式得：y=

2k 12 4k2+1

-16k 4k2+1

+2=-

3

2

+2=

1

2

．
所以直線CB必過y軸上的定點(diǎn)，且此定點(diǎn)坐標(biāo)為(0，

1

2

)．
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，也滿足過定點(diǎn)的條件．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量相等等基礎(chǔ)知識(shí)與方法；需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力．